Momento de inercia — fórmulas y ejemplos

El momento de inercia mide cuánto se resiste un objeto a cambiar su rotación respecto de un eje elegido. En dinámica rotacional, cumple un papel parecido al de la masa en el movimiento en línea recta.

Si buscabas la fórmula, la idea clave es simple: cada parte de la masa contribuye según su distancia al eje, y esa distancia está al cuadrado. Por eso la masa que está más lejos del eje importa tanto.

El eje no es opcional. El mismo objeto puede tener distintos momentos de inercia respecto de ejes diferentes.

De qué depende el momento de inercia

Para un conjunto de masas puntuales,

$$I = \sum m_i r_i^2$$

Aquí, $m_i$ es una porción de masa y $r_i$ es su distancia al eje. El término $r^2$ es la razón principal por la que el concepto se comporta así. Si mueves la misma masa al doble de distancia del eje, su contribución se vuelve cuatro veces mayor.

Para un objeto continuo, la misma idea se convierte en

$$I = \int r^2\,dm$$

No necesitas esa integral en todos los problemas, pero explica de dónde salen las fórmulas estándar para figuras. La unidad SI del momento de inercia es $\mathrm{kg \cdot m^2}$.

Cómo afecta el momento de inercia a la aceleración angular

Si un cuerpo rígido gira alrededor de un eje fijo, la dinámica rotacional suele usar

$$\tau_{net} = I\alpha$$

donde $\tau_{net}$ es el torque neto y $\alpha$ es la aceleración angular. Para el mismo torque aplicado, un $I$ mayor significa una aceleración angular menor.

Por eso una patinadora artística gira más rápido cuando recoge los brazos hacia adentro. La masa total se mantiene casi igual, pero una mayor parte queda más cerca del eje, así que el momento de inercia se hace menor.

Fórmulas comunes del momento de inercia

Estas fórmulas son estándar solo para la figura y el eje indicados.

• Masa puntual a una distancia $r$: $I = mr^2$
• Aro delgado o anillo respecto de su centro: $I = MR^2$
• Disco macizo o cilindro macizo respecto de su centro: $I = \frac{1}{2}MR^2$
• Esfera maciza respecto de su centro: $I = \frac{2}{5}MR^2$
• Varilla delgada de longitud $L$ respecto de su centro, con eje perpendicular a la varilla: $I = \frac{1}{12}ML^2$
• Varilla delgada de longitud $L$ respecto de un extremo, con eje perpendicular a la varilla: $I = \frac{1}{3}ML^2$

Si el eje cambia, la fórmula también puede cambiar. Esa es una de las fuentes de error más comunes.

Ejemplo resuelto: mover la misma masa hacia adentro

Supón que dos masas pequeñas de $2\ \mathrm{kg}$ cada una están unidas a una varilla ligera, con el eje de rotación en el centro.

Caso 1: cada masa está a $0.50\ \mathrm{m}$ del eje.

$$I = \sum m_i r_i^2 = 2(2)(0.50)^2 = 1.0\ \mathrm{kg \cdot m^2}$$

Caso 2: cada masa se mueve hacia adentro y queda a solo $0.25\ \mathrm{m}$ del eje.

$$I = 2(2)(0.25)^2 = 0.25\ \mathrm{kg \cdot m^2}$$

La masa total se mantuvo igual, pero el momento de inercia se volvió cuatro veces menor porque la distancia se redujo a la mitad.

Ahora supón que el mismo torque neto de $2.0\ \mathrm{N \cdot m}$ actúa en ambos casos. Entonces,

$$\alpha = \frac{\tau_{net}}{I}$$

así que las aceleraciones angulares son

$$\alpha_1 = \frac{2.0}{1.0} = 2.0\ \mathrm{rad/s^2}$$ $$\alpha_2 = \frac{2.0}{0.25} = 8.0\ \mathrm{rad/s^2}$$

La masa total no cambió, pero la aceleración angular se volvió cuatro veces mayor. Esa es la intuición central: mover masa hacia adentro hace que la rotación sea más fácil de cambiar.

Errores comunes con el momento de inercia

Olvidar especificar el eje

El momento de inercia siempre es respecto de un eje. Un disco respecto de su centro y ese mismo disco respecto de una línea tangente no tienen el mismo valor.

Usar la fórmula correcta para la figura equivocada

$I = \frac{1}{2}MR^2$ es para un disco macizo o un cilindro macizo respecto de su eje central, no para un aro. Un aro con el mismo $M$ y $R$ tiene $I = MR^2$.

Ignorar la distancia al cuadrado

Los estudiantes suelen notar que la distancia importa, pero subestiman cuánto importa. Como la fórmula contiene $r^2$, pequeños cambios en el radio pueden tener un efecto grande.

Tratarlo como si solo fuera una cuestión de masa

Más masa suele aumentar el momento de inercia, pero la distribución también importa. Un objeto más ligero aún puede tener un $I$ mayor si una mayor parte de su masa está lejos del eje.

Dónde se usa el momento de inercia

El momento de inercia aparece siempre que la rotación importa:

1. ruedas, volantes de inercia y motores
2. varillas, discos y poleas en rotación
3. patinaje artístico y clavados
4. equilibrio entre torque y aceleración angular en problemas de mecánica
5. diseños de ingeniería donde importa la respuesta rotacional

En las clases de física, suele aparecer junto con el torque, la aceleración angular, el momento angular y la energía cinética rotacional.

Prueba un problema similar

Toma el ejemplo resuelto y mueve cada masa de $2\ \mathrm{kg}$ a $0.40\ \mathrm{m}$ del eje en su lugar. Calcula el nuevo $I$ y luego predice cómo cambia la aceleración angular bajo el mismo torque. Esa sola variación basta para que la dependencia con $r^2$ quede clara.