用简单的话说，什么是转动惯量？

转动惯量表示物体绕选定轴产生角加速度时的“抗拒程度”。离转轴越远的质量贡献越大，因为其贡献按 $r^2$ 增长。

同一个物体会有不同的转动惯量吗？

会。转动惯量的数值取决于所选转轴。同一个物体绕中心轴的转动惯量，可能与绕边缘或另一条平行轴时不同。

转动惯量衡量的是：物体绕选定轴转动时，对转动状态改变的抗拒程度。在转动动力学中，它所起的作用类似于直线运动中的质量。

如果你是来找公式的，核心思想其实很简单：物体各部分质量的贡献取决于它到转轴的距离，而且这个距离要平方。这就是为什么离转轴更远的质量会显得特别重要。

转轴不是可有可无的条件。同一个物体，绕不同转轴可以有不同的转动惯量。

对于一组质点，

I = \sum m_i r_i^2

这里， $m_i$ 表示其中一部分质量， $r_i$ 表示它到转轴的距离。 $r^2$ 这一项是这个概念表现出这些性质的主要原因。如果把同样的质量移到离转轴两倍远的位置，它的贡献就会变成原来的四倍。

对于连续分布的物体，同样的思想写成

I = \int r^2\,dm

并不是每道题都需要真的去算这个积分，但它解释了标准图形公式是从哪里来的。转动惯量的 SI 单位是 $\mathrm{kg \cdot m^2}$ 。

如果刚体绕固定轴转动，转动动力学中常用

\tau_{net} = I\alpha

其中 $\tau_{net}$ 是合力矩， $\alpha$ 是角加速度。在施加相同力矩的情况下， $I$ 越大，角加速度就越小。

这就是为什么花样滑冰运动员把手臂收拢时会转得更快。总质量几乎不变，但更多质量靠近了转轴，所以转动惯量变小了。

下面这些公式只对所说明的形状和转轴成立。

如果转轴改变，公式也可能随之改变。这是最常见的错误来源之一。

设有两个小球，每个质量都是 $2\ \mathrm{kg}$ ，固定在一根轻杆上，转轴在杆的中心。

情况 1：每个小球距转轴 $0.50\ \mathrm{m}$ 。

I = \sum m_i r_i^2 = 2(2)(0.50)^2 = 1.0\ \mathrm{kg \cdot m^2}

情况 2：把每个小球向内移动，使它到转轴的距离变为 $0.25\ \mathrm{m}$ 。

I = 2(2)(0.25)^2 = 0.25\ \mathrm{kg \cdot m^2}

总质量保持不变，但转动惯量变成了原来的四分之一，因为距离减半了。

现在再假设两种情况下受到的合力矩都相同，都是 $2.0\ \mathrm{N \cdot m}$ 。那么

\alpha = \frac{\tau_{net}}{I}

所以角加速度分别为

\alpha_1 = \frac{2.0}{1.0} = 2.0\ \mathrm{rad/s^2}

\alpha_2 = \frac{2.0}{0.25} = 8.0\ \mathrm{rad/s^2}

总质量没有变化，但角加速度变成了原来的四倍。这就是最核心的直觉：把质量向内移，会让转动状态更容易改变。

转动惯量一定是相对于某条转轴而言的。圆盘绕中心轴与同一个圆盘绕切线轴时，数值并不相同。

$I = \frac{1}{2}MR^2$ 适用于实心圆盘或实心圆柱绕中心轴，不适用于圆环。质量和半径同为 $M$ 与 $R$ 的圆环，其转动惯量是 $I = MR^2$ 。

学生通常知道距离有影响，但往往低估了这种影响有多强。因为公式里是 $r^2$ ，所以半径的微小变化也可能带来很大的影响。

质量更大通常会使转动惯量增大，但质量分布同样重要。即使总质量更小，如果更多质量分布在远离转轴的位置，物体仍然可能有更大的 $I$ 。

凡是涉及转动的问题，都会出现转动惯量：

在物理课中，它通常会和力矩、角加速度、角动量以及转动动能一起出现。

把上面的例题稍作变化：将每个 $2\ \mathrm{kg}$ 的小球移到距转轴 $0.40\ \mathrm{m}$ 的位置。先计算新的 $I$ ，再判断在相同力矩下角加速度会怎样变化。只做这一个变式，就足以让你真正记住 $r^2$ 的依赖关系。

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