Moment bezwładności — wzory i przykłady

Moment bezwładności określa, jak silnie obiekt opiera się zmianom ruchu obrotowego wokół wybranej osi. W dynamice ruchu obrotowego pełni rolę podobną do masy w ruchu prostoliniowym.

Jeśli szukasz wzoru, kluczowa idea jest prosta: każda część masy wnosi wkład zależny od swojej odległości od osi, a ta odległość jest podniesiona do kwadratu. Dlatego masa położona dalej od osi ma tak duże znaczenie.

Oś nie jest czymś opcjonalnym. Ten sam obiekt może mieć różne momenty bezwładności względem różnych osi.

Od czego zależy moment bezwładności

Dla układu mas punktowych:

$$I = \sum m_i r_i^2$$

Tutaj $m_i$ to jedna część masy, a $r_i$ to jej odległość od osi. Wyraz $r^2$ jest głównym powodem, dla którego to pojęcie zachowuje się właśnie w ten sposób. Jeśli przesuniesz tę samą masę dwa razy dalej od osi, jej wkład stanie się cztery razy większy.

Dla obiektu ciągłego ta sama idea przyjmuje postać

$$I = \int r^2\,dm$$

Nie potrzebujesz tej całki w każdym zadaniu, ale wyjaśnia ona, skąd biorą się standardowe wzory dla figur. Jednostką SI momentu bezwładności jest $\mathrm{kg \cdot m^2}$.

Jak moment bezwładności wpływa na przyspieszenie kątowe

Jeśli bryła sztywna obraca się wokół stałej osi, w dynamice ruchu obrotowego często używa się zależności

$$\tau_{net} = I\alpha$$

gdzie $\tau_{net}$ to wypadkowy moment siły, a $\alpha$ to przyspieszenie kątowe. Dla tego samego przyłożonego momentu siły większe $I$ oznacza mniejsze przyspieszenie kątowe.

Dlatego łyżwiarka figurowa obraca się szybciej, gdy przyciąga ręce do środka. Całkowita masa pozostaje prawie taka sama, ale większa jej część przesuwa się bliżej osi, więc moment bezwładności staje się mniejszy.

Typowe wzory na moment bezwładności

Te wzory są standardowe tylko dla podanego kształtu i osi.

• Masa punktowa w odległości $r$: $I = mr^2$
• Cienka obręcz lub pierścień względem środka: $I = MR^2$
• Pełny dysk lub pełny walec względem środka: $I = \frac{1}{2}MR^2$
• Pełna kula względem środka: $I = \frac{2}{5}MR^2$
• Cienki pręt o długości $L$ względem środka, oś prostopadła do pręta: $I = \frac{1}{12}ML^2$
• Cienki pręt o długości $L$ względem jednego końca, oś prostopadła do pręta: $I = \frac{1}{3}ML^2$

Jeśli oś się zmienia, wzór też może się zmienić. To jedno z najczęstszych źródeł błędów.

Przykład obliczeniowy: przesunięcie tej samej masy do środka

Załóżmy, że dwie małe masy po $2\ \mathrm{kg}$ każda są przymocowane do lekkiego pręta, a oś obrotu znajduje się w środku.

Przypadek 1: każda masa jest w odległości $0.50\ \mathrm{m}$ od osi.

$$I = \sum m_i r_i^2 = 2(2)(0.50)^2 = 1.0\ \mathrm{kg \cdot m^2}$$

Przypadek 2: każda masa zostaje przesunięta do środka tak, że znajduje się tylko $0.25\ \mathrm{m}$ od osi.

$$I = 2(2)(0.25)^2 = 0.25\ \mathrm{kg \cdot m^2}$$

Całkowita masa pozostała taka sama, ale moment bezwładności stał się cztery razy mniejszy, ponieważ odległość zmalała o połowę.

Załóżmy teraz, że w obu przypadkach działa ten sam wypadkowy moment siły równy $2.0\ \mathrm{N \cdot m}$. Wtedy

$$\alpha = \frac{\tau_{net}}{I}$$

więc przyspieszenia kątowe wynoszą

$$\alpha_1 = \frac{2.0}{1.0} = 2.0\ \mathrm{rad/s^2}$$ $$\alpha_2 = \frac{2.0}{0.25} = 8.0\ \mathrm{rad/s^2}$$

Całkowita masa się nie zmieniła, ale przyspieszenie kątowe stało się cztery razy większe. To najważniejsza intuicja: przesunięcie masy do środka sprawia, że łatwiej zmienić ruch obrotowy.

Częste błędy związane z momentem bezwładności

Pomijanie określenia osi

Moment bezwładności jest zawsze liczony względem osi. Dysk względem swojego środka i ten sam dysk względem stycznej nie mają tej samej wartości.

Użycie właściwego wzoru dla niewłaściwego kształtu

$I = \frac{1}{2}MR^2$ dotyczy pełnego dysku lub pełnego walca względem osi przechodzącej przez środek, a nie obręczy. Obręcz o tym samym $M$ i $R$ ma $I = MR^2$.

Ignorowanie kwadratu odległości

Uczniowie często zauważają, że odległość ma znaczenie, ale nie doceniają, jak silny jest ten wpływ. Ponieważ we wzorze występuje $r^2$, małe zmiany promienia mogą dawać duży efekt.

Traktowanie tego tylko jako kwestii masy

Większa masa często zwiększa moment bezwładności, ale znaczenie ma też rozkład masy. Lżejszy obiekt nadal może mieć większe $I$, jeśli większa część jego masy znajduje się daleko od osi.

Gdzie używa się momentu bezwładności

Moment bezwładności pojawia się wszędzie tam, gdzie ważny jest ruch obrotowy:

1. koła, koła zamachowe i silniki
2. obracające się pręty, dyski i bloczki
3. łyżwiarstwo figurowe i skoki do wody
4. równoważenie momentu siły i przyspieszenia kątowego w zadaniach z mechaniki
5. projekty inżynierskie, w których liczy się odpowiedź układu na ruch obrotowy

Na lekcjach fizyki zwykle pojawia się razem z momentem siły, przyspieszeniem kątowym, momentem pędu i energią kinetyczną ruchu obrotowego.

Spróbuj podobnego zadania

Weź przykład obliczeniowy i przesuń każdą masę $2\ \mathrm{kg}$ na odległość $0.40\ \mathrm{m}$ od osi. Oblicz nowe $I$, a następnie przewidź, jak zmieni się przyspieszenie kątowe przy tym samym momencie siły. Ta jedna modyfikacja wystarczy, by dobrze zapamiętać zależność od $r^2$.