โมเมนต์ความเฉื่อย — สูตรและตัวอย่าง

โมเมนต์ความเฉื่อยใช้วัดว่าวัตถุต้านการเปลี่ยนแปลงการหมุนรอบแกนที่กำหนดมากแค่ไหน ในพลวัตการหมุน มันมีบทบาทคล้ายกับมวลในการเคลื่อนที่แนวเส้นตรง

ถ้าคุณกำลังหาสูตร แนวคิดสำคัญนั้นง่ายมาก: มวลแต่ละส่วนมีส่วนร่วมตามระยะห่างจากแกน และระยะนั้นถูกยกกำลังสอง นี่จึงเป็นเหตุผลว่าทำไมมวลที่อยู่ไกลจากแกนจึงสำคัญมาก

แกนไม่ใช่สิ่งที่ละไว้ได้ วัตถุชิ้นเดียวกันสามารถมีโมเมนต์ความเฉื่อยต่างกันได้เมื่อพิจารณาคนละแกน

โมเมนต์ความเฉื่อยขึ้นอยู่กับอะไร

สำหรับระบบที่เป็นมวลจุดหลายก้อน

$$I = \sum m_i r_i^2$$

โดยที่ $m_i$ คือมวลแต่ละส่วน และ $r_i$ คือระยะจากแกน พจน์ $r^2$ คือเหตุผลหลักที่ทำให้แนวคิดนี้มีพฤติกรรมแบบที่เห็น ถ้าคุณย้ายมวลเดิมให้อยู่ไกลจากแกนเป็น 2 เท่า ส่วนร่วมของมันจะเพิ่มเป็น 4 เท่า

สำหรับวัตถุต่อเนื่อง แนวคิดเดียวกันจะเขียนได้เป็น

$$I = \int r^2\,dm$$

คุณไม่จำเป็นต้องใช้อินทิกรัลนี้ในทุกโจทย์ แต่มันอธิบายได้ว่าสูตรของรูปทรงมาตรฐานมาจากไหน หน่วย SI ของโมเมนต์ความเฉื่อยคือ $\mathrm{kg \cdot m^2}$

โมเมนต์ความเฉื่อยมีผลต่อความเร่งเชิงมุมอย่างไร

ถ้าวัตถุแข็งเกร็งหมุนรอบแกนคงที่ พลวัตการหมุนมักใช้สมการ

$$\tau_{net} = I\alpha$$

โดยที่ $\tau_{net}$ คือแรงบิดลัพธ์ และ $\alpha$ คือความเร่งเชิงมุม สำหรับแรงบิดที่กระทำเท่ากัน ถ้า $I$ มากกว่า ความเร่งเชิงมุมจะน้อยกว่า

นี่จึงเป็นเหตุผลที่นักสเก็ตลีลาหมุนได้เร็วขึ้นเมื่อดึงแขนเข้าหาตัว มวลรวมแทบไม่เปลี่ยน แต่มีมวลมากขึ้นที่เคลื่อนเข้าใกล้แกน ทำให้โมเมนต์ความเฉื่อยลดลง

สูตรโมเมนต์ความเฉื่อยที่พบบ่อย

สูตรเหล่านี้เป็นสูตรมาตรฐานเฉพาะสำหรับรูปทรงและแกนที่ระบุเท่านั้น

• มวลจุดที่อยู่ห่างแกน $r$: $I = mr^2$
• ห่วงบางหรือวงแหวนบางรอบจุดศูนย์กลาง: $I = MR^2$
• จานตันหรือทรงกระบอกตันรอบจุดศูนย์กลาง: $I = \frac{1}{2}MR^2$
• ทรงกลมตันรอบจุดศูนย์กลาง: $I = \frac{2}{5}MR^2$
• แท่งบางยาว $L$ รอบจุดศูนย์กลาง โดยแกนตั้งฉากกับแท่ง: $I = \frac{1}{12}ML^2$
• แท่งบางยาว $L$ รอบปลายด้านหนึ่ง โดยแกนตั้งฉากกับแท่ง: $I = \frac{1}{3}ML^2$

ถ้าแกนเปลี่ยน สูตรก็อาจเปลี่ยนตามไปด้วย นี่เป็นหนึ่งในสาเหตุของความผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุด

ตัวอย่างคำนวณ: ย้ายมวลเดิมเข้าด้านใน

สมมติว่ามีมวลเล็กสองก้อน ก้อนละ $2\ \mathrm{kg}$ ติดอยู่กับแท่งเบา โดยมีแกนหมุนอยู่ที่จุดศูนย์กลาง

กรณีที่ 1: มวลแต่ละก้อนอยู่ห่างจากแกน $0.50\ \mathrm{m}$

$$I = \sum m_i r_i^2 = 2(2)(0.50)^2 = 1.0\ \mathrm{kg \cdot m^2}$$

กรณีที่ 2: ย้ายมวลแต่ละก้อนเข้าด้านในจนอยู่ห่างจากแกนเพียง $0.25\ \mathrm{m}$

$$I = 2(2)(0.25)^2 = 0.25\ \mathrm{kg \cdot m^2}$$

มวลรวมยังเท่าเดิม แต่โมเมนต์ความเฉื่อยลดลงเหลือหนึ่งในสี่ เพราะระยะถูกลดลงครึ่งหนึ่ง

ตอนนี้สมมติว่าในทั้งสองกรณีมีแรงบิดลัพธ์เท่ากันคือ $2.0\ \mathrm{N \cdot m}$ มากระทำ จะได้ว่า

$$\alpha = \frac{\tau_{net}}{I}$$

ดังนั้นความเร่งเชิงมุมคือ

$$\alpha_1 = \frac{2.0}{1.0} = 2.0\ \mathrm{rad/s^2}$$ $$\alpha_2 = \frac{2.0}{0.25} = 8.0\ \mathrm{rad/s^2}$$

มวลรวมไม่ได้เปลี่ยน แต่ความเร่งเชิงมุมเพิ่มขึ้นเป็น 4 เท่า นี่คือภาพเข้าใจหลักของเรื่องนี้: การย้ายมวลเข้าหาแกนทำให้การเปลี่ยนการหมุนเกิดขึ้นได้ง่ายขึ้น

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับโมเมนต์ความเฉื่อย

ลืมระบุแกน

โมเมนต์ความเฉื่อยต้องอ้างอิงกับแกนเสมอ จานที่หมุนรอบจุดศูนย์กลางกับจานเดียวกันที่หมุนรอบเส้นสัมผัสวงกลมจะมีค่าไม่เท่ากัน

ใช้สูตรถูก แต่ใช้กับรูปทรงผิด

$I = \frac{1}{2}MR^2$ ใช้สำหรับจานตันหรือทรงกระบอกตันที่หมุนรอบแกนผ่านศูนย์กลาง ไม่ใช่สำหรับห่วง ถ้าห่วงมี $M$ และ $R$ เท่ากัน จะมี $I = MR^2$

มองข้ามระยะที่ถูกยกกำลังสอง

นักเรียนมักสังเกตว่าระยะมีผล แต่ประเมินความแรงของผลนั้นต่ำเกินไป เพราะในสูตรมี $r^2$ การเปลี่ยนรัศมีเพียงเล็กน้อยจึงอาจทำให้ค่าเปลี่ยนมาก

คิดว่าเป็นเรื่องของมวลอย่างเดียว

มวลที่มากขึ้นมักทำให้โมเมนต์ความเฉื่อยมากขึ้น แต่การกระจายมวลก็สำคัญเช่นกัน วัตถุที่เบากว่าอาจยังมี $I$ มากกว่าได้ ถ้ามวลของมันกระจายอยู่ไกลจากแกนมากกว่า

โมเมนต์ความเฉื่อยถูกใช้ที่ไหน

โมเมนต์ความเฉื่อยปรากฏในทุกสถานการณ์ที่การหมุนมีความสำคัญ เช่น

1. ล้อ ฟลายวีล และมอเตอร์
2. แท่ง จาน และรอกที่กำลังหมุน
3. สเก็ตลีลาและการกระโดดน้ำ
4. การวิเคราะห์สมดุลระหว่างแรงบิดกับความเร่งเชิงมุมในโจทย์กลศาสตร์
5. งานออกแบบทางวิศวกรรมที่การตอบสนองต่อการหมุนมีความสำคัญ

ในวิชาฟิสิกส์ มักพบหัวข้อนี้ควบคู่กับแรงบิด ความเร่งเชิงมุม โมเมนตัมเชิงมุม และพลังงานจลน์การหมุน

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

นำตัวอย่างข้างต้นมาเปลี่ยนโดยย้ายมวล $2\ \mathrm{kg}$ แต่ละก้อนไปอยู่ห่างจากแกน $0.40\ \mathrm{m}$ แทน คำนวณค่า $I$ ใหม่ แล้วทำนายว่าความเร่งเชิงมุมจะเปลี่ยนอย่างไรเมื่อใช้แรงบิดเท่าเดิม การเปลี่ยนเพียงเล็กน้อยนี้ก็เพียงพอที่จะทำให้ความสัมพันธ์แบบ $r^2$ ติดตา