固有値と固有ベクトル — ステップごとの解説

固有値と固有ベクトルは、正方行列が向きを変えずに倍率だけを変える方向を教えてくれます。正方行列 $A$ に対して、固有ベクトルとは、次を満たすゼロでないベクトル $v$ のことです。

$$Av = \lambda v$$

ここで $\lambda$ はあるスカラーです。この $\lambda$ を固有値といいます。要点だけ言えば、固有ベクトルは同じ直線上にとどまり、固有値はその直線上での倍率を表します。

多くのベクトルは、行列をかけると向きが変わります。固有ベクトルはそうなりません。$\lambda < 0$ なら伸びたり縮んだり反転したりはしますが、同じ直線上にとどまります。

$Av = \lambda v$ の意味

行列を変換だと考えてみましょう。ふつうは回転、せん断、拡大縮小、あるいは方向の混合を起こします。ですが、もとの直線からそれずに変換を受ける特別な方向が存在することがあります。

その特別な方向が固有ベクトルです。固有値は、その方向に沿って行列が何をするかを表します。

• $\lambda > 1$ なら、ベクトルは引き伸ばされます。
• $0 < \lambda < 1$ なら、ベクトルは縮みます。
• $\lambda < 0$ なら、ベクトルは倍率がかかり、向きも反転します。
• $\lambda = 0$ なら、その固有ベクトルは零ベクトルに送られます。

零ベクトルは固有ベクトルには数えません。もし認めてしまうと、どんな行列でも零ベクトルをもつことになり、この考え方の意味が薄れてしまいます。

固有値と固有ベクトルの求め方

まず

$$Av = \lambda v.$$

から始めます。

すべてを片側に移すと、

$$(A - \lambda I)v = 0.$$

となります。

これは同次連立方程式です。ゼロでない解 $v$ をもつためには、行列 $A - \lambda I$ が特異でなければならないので、

$$\det(A - \lambda I) = 0.$$

が成り立ちます。

この方程式を解くと固有値が求まります。次に、それぞれの固有値について

$$(A - \lambda I)v = 0$$

を解けば、対応する固有ベクトルが得られます。

この方法は正方行列に対して使えます。行列が正方でない場合、標準的な固有値問題はこの形では定義されません。

例題：2x2 行列

次の行列を考えます。

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}.$$

まず固有値を求め、そのあと対応する固有ベクトルを求めます。

ステップ1：$\det(A - \lambda I)$ を計算する

まず

$$A - \lambda I = \begin{bmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 0 & 3 - \lambda \end{bmatrix}.$$

を作ります。

次に行列式をとると、

$$\det(A - \lambda I) = (2 - \lambda)(3 - \lambda).$$

となります。

これを 0 に等しいとおくと、

$$(2 - \lambda)(3 - \lambda) = 0.$$

したがって固有値は

$$\lambda = 2 \quad \text{and} \quad \lambda = 3.$$

です。

ステップ2：$\lambda = 2$ の固有ベクトルを求める

$\lambda = 2$ を $(A - \lambda I)v = 0$ に代入します。

$$A - 2I = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.$$

$v = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ とおくと、

$$\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$

となり、$y = 0$ が得られます。変数 $x$ は自由なので、$x$ 軸上のゼロでないベクトルはすべて使えます。たとえば

$$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$$

は簡単な選び方で、そのゼロでない定数倍もすべて $\lambda = 2$ の固有ベクトルです。

ステップ3：$\lambda = 3$ の固有ベクトルを求める

次に $\lambda = 3$ を使います。

$$A - 3I = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}.$$

これについて

$$\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}.$$

を解きます。

すると $-x + y = 0$ なので、$y = x$ です。たとえば

$$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

が簡単な選び方で、そのゼロでない定数倍もすべて $\lambda = 3$ の固有ベクトルです。

ステップ4：1組を確認する

$\lambda = 3$ に対して $v = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ をとると、

$$Av = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \end{bmatrix} = 3 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}.$$

となります。

したがって確認はうまくいき、$Av = 3v$ です。

直感：なぜこれらのベクトルが特別なのか

平面全体が $A$ によって変換される様子を思い浮かべると、ほとんどの矢印は別の方向へ傾きます。固有ベクトルは、その中で自分の直線上にとどまる珍しい矢印です。

これが重要な理由です。固有ベクトルは、変換の中に隠れている単純な方向を明らかにしてくれます。多くの場合、行列の成分をただ眺めるよりも、そのほうが役に立ちます。

固有値と固有ベクトルを求めるときのよくあるミス

1. 固有ベクトルはゼロであってはいけないことを忘れる。
2. $\det(A - \lambda I) = 0$ を間違えて解く。特に行列式の計算でミスしやすい。
3. 固有値だけ求めて、対応する固有ベクトルを解かない。
4. すべての正方行列が、基底を作れるだけの独立な固有ベクトルをもつと思い込む。実際にはそうでないものもあります。
5. すべての実行列が実数の固有値をもつと思い込む。これは行列によります。

固有値と固有ベクトルはどこで使われるか

線形な過程に、特別な方向や自然なモードがあるときには必ずといってよいほど現れます。

代表例として、微分方程式、振動問題、力学系、マルコフモデル、主成分分析などがあります。分野によって意味づけは少し変わりますが、基本のパターンは同じです。つまり、変換が単なる倍率として働く方向を見つけるのです。

似た問題に挑戦してみよう

次の行列でも同じ手順を試してみてください。

$$\begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}.$$

まず固有値を求め、次に固有ベクトルを解き、最後に1組を直接の掛け算で確かめてみましょう。さらに一歩進めたいなら、計算ツールで自分の答えと比べてみてください。最後の数値だけでなく、固有値と固有ベクトルの組全体を比べるのがポイントです。