Nilai Eigen dan Vektor Eigen — Panduan Langkah demi Langkah

Nilai eigen dan vektor eigen memberi tahu Anda arah mana pada sebuah matriks persegi yang hanya diskalakan, bukan diputar. Untuk matriks persegi $A$, vektor eigen adalah vektor tak nol $v$ sehingga

$$Av = \lambda v$$

untuk suatu skalar $\lambda$. Bilangan $\lambda$ disebut nilai eigen. Jika Anda hanya membutuhkan gagasan intinya, maka intinya adalah ini: vektor eigen tetap berada pada garis yang sama, sedangkan nilai eigen memberi tahu faktor skalanya pada garis tersebut.

Sebagian besar vektor berubah arah ketika dikenai matriks. Vektor eigen tidak. Vektor itu bisa diregangkan, diciutkan, atau dibalik jika $\lambda < 0$, tetapi tetap berada pada garis yang sama.

Apa arti $Av = \lambda v$

Bayangkan matriks sebagai suatu transformasi. Biasanya matriks memutar, menggeser, meregangkan, atau mencampurkan arah. Namun, ada beberapa arah yang dapat bertahan dari transformasi itu tanpa menyimpang dari garis asalnya.

Arah-arah khusus itulah vektor eigen. Nilai eigen memberi tahu apa yang dilakukan matriks sepanjang arah tersebut:

• Jika $\lambda > 1$, vektor diregangkan.
• Jika $0 < \lambda < 1$, vektor diciutkan.
• Jika $\lambda < 0$, vektor diskalakan dan dibalik.
• Jika $\lambda = 0$, matriks memetakan vektor eigen itu ke vektor nol.

Vektor nol tidak pernah dihitung sebagai vektor eigen. Jika itu diperbolehkan, setiap matriks akan memilikinya, dan gagasan ini akan kehilangan maknanya.

Cara mencari nilai eigen dan vektor eigen

Mulailah dengan

$$Av = \lambda v.$$

Pindahkan semuanya ke satu sisi:

$$(A - \lambda I)v = 0.$$

Ini adalah sistem homogen. Agar sistem ini memiliki solusi tak nol $v$, matriks $A - \lambda I$ harus singular, sehingga

$$\det(A - \lambda I) = 0.$$

Menyelesaikan persamaan itu menghasilkan nilai eigen. Lalu, untuk setiap nilai eigen, selesaikan

$$(A - \lambda I)v = 0$$

untuk mendapatkan vektor eigen yang bersesuaian.

Metode ini berlaku untuk matriks persegi. Jika matriksnya tidak persegi, masalah nilai eigen standar tidak didefinisikan dalam bentuk ini.

Contoh dikerjakan: matriks 2x2

Misalkan

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}.$$

Kita akan mencari nilai eigennya terlebih dahulu, lalu vektor eigen yang bersesuaian dengannya.

Langkah 1: Hitung $\det(A - \lambda I)$

Pertama bentuk

$$A - \lambda I = \begin{bmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 0 & 3 - \lambda \end{bmatrix}.$$

Sekarang hitung determinannya:

$$\det(A - \lambda I) = (2 - \lambda)(3 - \lambda).$$

Samakan determinan dengan nol:

$$(2 - \lambda)(3 - \lambda) = 0.$$

Jadi nilai eigennya adalah

$$\lambda = 2 \quad \text{dan} \quad \lambda = 3.$$

Langkah 2: Cari vektor eigen untuk $\lambda = 2$

Substitusikan $\lambda = 2$ ke dalam $(A - \lambda I)v = 0$:

$$A - 2I = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.$$

Misalkan $v = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$. Maka

$$\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$

yang menghasilkan $y = 0$. Variabel $x$ bebas, jadi setiap vektor tak nol pada sumbu $x$ memenuhi. Pilihan yang sederhana adalah

$$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$$

dan setiap kelipatan tak nol darinya juga merupakan vektor eigen untuk $\lambda = 2$.

Langkah 3: Cari vektor eigen untuk $\lambda = 3$

Sekarang gunakan $\lambda = 3$:

$$A - 3I = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}.$$

Selesaikan

$$\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}.$$

Ini menghasilkan $-x + y = 0$, sehingga $y = x$. Pilihan yang sederhana adalah

$$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

dan setiap kelipatan tak nol darinya juga merupakan vektor eigen untuk $\lambda = 3$.

Langkah 4: Periksa satu pasangan

Ambil $v = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ untuk $\lambda = 3$:

$$Av = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \end{bmatrix} = 3 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}.$$

Jadi pemeriksaannya benar: $Av = 3v$.

Intuisi: mengapa vektor-vektor ini istimewa

Jika Anda membayangkan bidang ditransformasikan oleh $A$, sebagian besar panah akan miring ke arah baru. Vektor eigen adalah panah langka yang tetap berada pada garisnya sendiri.

Itulah sebabnya mereka penting. Mereka mengungkap arah-arah sederhana yang tersembunyi di dalam transformasi, yang sering kali lebih berguna daripada hanya menatap entri-entri matriks.

Kesalahan umum saat mencari nilai eigen dan vektor eigen

1. Lupa bahwa vektor eigen harus tak nol.
2. Salah menyelesaikan $\det(A - \lambda I) = 0$, terutama pada langkah determinan.
3. Menemukan nilai eigen tetapi tidak menyelesaikan vektor eigen yang bersesuaian.
4. Menganggap setiap matriks persegi memiliki cukup banyak vektor eigen bebas linear untuk membentuk basis. Tidak semuanya demikian.
5. Menganggap setiap matriks real memiliki nilai eigen real. Itu bergantung pada matriksnya.

Di mana nilai eigen dan vektor eigen digunakan

Konsep ini muncul setiap kali suatu proses linear memiliki arah yang diutamakan atau mode alami.

Contoh umum meliputi persamaan diferensial, masalah getaran, sistem dinamis, model Markov, dan analisis komponen utama. Maknanya berubah menurut bidangnya, tetapi polanya tetap sama: cari arah di mana transformasi bertindak seperti penskalaan sederhana.

Coba soal serupa

Coba proses yang sama untuk

$$\begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}.$$

Cari nilai eigennya terlebih dahulu, lalu selesaikan vektor eigennya, dan periksa satu pasangan dengan perkalian langsung. Jika Anda ingin melangkah sedikit lebih jauh, coba versi Anda sendiri di sebuah solver dan bandingkan pasangan eigennya, bukan hanya angka akhirnya.