Valores propios y vectores propios — Guía paso a paso

Los valores propios y los vectores propios te dicen qué direcciones una matriz cuadrada solo escala en lugar de girar. Para una matriz cuadrada $A$, un vector propio es un vector no nulo $v$ tal que

$$Av = \lambda v$$

para algún escalar $\lambda$. El número $\lambda$ es el valor propio. Si solo necesitas la idea central, es esta: los vectores propios conservan su línea, mientras que los valores propios indican el factor de escala sobre esa línea.

La mayoría de los vectores cambian de dirección bajo la acción de una matriz. Un vector propio no. Puede estirarse, encogerse o invertirse si $\lambda < 0$, pero permanece en la misma línea.

Qué significa $Av = \lambda v$

Piensa en una matriz como una transformación. Normalmente rota, cizalla, estira o mezcla direcciones. Pero algunas direcciones pueden sobrevivir a esa transformación sin apartarse de su línea original.

Esas direcciones especiales son los vectores propios. El valor propio indica qué hace la matriz en esa dirección:

• Si $\lambda > 1$, el vector se estira.
• Si $0 < \lambda < 1$, el vector se encoge.
• Si $\lambda < 0$, el vector se escala y se invierte.
• Si $\lambda = 0$, la matriz envía ese vector propio al vector cero.

El vector cero nunca se considera un vector propio. Si se permitiera, toda matriz lo tendría y la idea perdería su sentido.

Cómo encontrar valores propios y vectores propios

Empieza con

$$Av = \lambda v.$$

Pasa todo a un lado:

$$(A - \lambda I)v = 0.$$

Este es un sistema homogéneo. Para que tenga una solución no nula $v$, la matriz $A - \lambda I$ debe ser singular, así que

$$\det(A - \lambda I) = 0.$$

Resolver esa ecuación da los valores propios. Luego, para cada valor propio, resuelve

$$(A - \lambda I)v = 0$$

para obtener los vectores propios correspondientes.

Este método se aplica a matrices cuadradas. Si la matriz no es cuadrada, el problema estándar de valores propios no está definido de esta forma.

Ejemplo resuelto: una matriz 2x2

Sea

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}.$$

Primero encontraremos los valores propios y luego los vectores propios asociados.

Paso 1: Calcula $\det(A - \lambda I)$

Primero forma

$$A - \lambda I = \begin{bmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 0 & 3 - \lambda \end{bmatrix}.$$

Ahora calcula el determinante:

$$\det(A - \lambda I) = (2 - \lambda)(3 - \lambda).$$

Iguala el determinante a cero:

$$(2 - \lambda)(3 - \lambda) = 0.$$

Así que los valores propios son

$$\lambda = 2 \quad \text{y} \quad \lambda = 3.$$

Paso 2: Encuentra los vectores propios para $\lambda = 2$

Sustituye $\lambda = 2$ en $(A - \lambda I)v = 0$:

$$A - 2I = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.$$

Sea $v = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$. Entonces

$$\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$

lo que da $y = 0$. La variable $x$ es libre, así que sirve cualquier vector no nulo sobre el eje $x$. Una elección simple es

$$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$$

y cualquier múltiplo no nulo suyo también es un vector propio para $\lambda = 2$.

Paso 3: Encuentra los vectores propios para $\lambda = 3$

Ahora usa $\lambda = 3$:

$$A - 3I = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}.$$

Resuelve

$$\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}.$$

Esto da $-x + y = 0$, así que $y = x$. Una elección simple es

$$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

y cualquier múltiplo no nulo suyo también es un vector propio para $\lambda = 3$.

Paso 4: Comprueba un par

Toma $v = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ para $\lambda = 3$:

$$Av = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \end{bmatrix} = 3 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}.$$

Así que la comprobación funciona: $Av = 3v$.

Intuición: por qué estos vectores son especiales

Si imaginas que el plano está siendo transformado por $A$, la mayoría de las flechas se inclinan hacia nuevas direcciones. Los vectores propios son las flechas raras que permanecen en su propia línea.

Por eso importan. Revelan las direcciones simples ocultas dentro de la transformación, lo cual suele ser más útil que quedarse mirando las entradas de la matriz.

Errores comunes al resolver valores propios y vectores propios

1. Olvidar que los vectores propios deben ser no nulos.
2. Resolver mal $\det(A - \lambda I) = 0$, especialmente en el paso del determinante.
3. Encontrar los valores propios pero no resolver los vectores propios correspondientes.
4. Suponer que toda matriz cuadrada tiene suficientes vectores propios independientes para formar una base. Algunas no los tienen.
5. Suponer que toda matriz real tiene valores propios reales. Eso depende de la matriz.

Dónde se usan los valores propios y los vectores propios

Aparecen siempre que un proceso lineal tiene direcciones preferidas o modos naturales.

Algunos ejemplos comunes son las ecuaciones diferenciales, los problemas de vibración, los sistemas dinámicos, los modelos de Markov y el análisis de componentes principales. El significado cambia según el campo, pero el patrón es el mismo: encontrar direcciones en las que la transformación actúa como un simple escalado.

Prueba un problema similar

Prueba el mismo proceso para

$$\begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}.$$

Encuentra primero los valores propios, luego resuelve los vectores propios y comprueba un par mediante multiplicación directa. Si quieres ir un paso más allá, prueba tu propia versión en un solver y compara los pares propios, no solo los números finales.