고유값과 고유벡터 — 단계별 가이드

고유값과 고유벡터는 정사각행렬이 어떤 방향은 회전시키지 않고 크기만 바꾸는지를 알려줍니다. 정사각행렬 $A$에 대해, 고유벡터는 다음을 만족하는 0이 아닌 벡터 $v$입니다.

$$Av = \lambda v$$

여기서 $\lambda$는 어떤 스칼라이고, 이를 고유값이라고 합니다. 핵심만 말하면 이렇습니다. 고유벡터는 같은 직선 위에 남아 있고, 고유값은 그 직선 방향에서 얼마나 배율이 바뀌는지를 알려줍니다.

대부분의 벡터는 행렬을 거치면 방향이 바뀝니다. 하지만 고유벡터는 그렇지 않습니다. $\lambda < 0$이면 늘어나거나 줄어들면서 방향이 반대로 바뀔 수는 있어도, 여전히 같은 직선 위에 있습니다.

$Av = \lambda v$의 의미

행렬을 하나의 변환이라고 생각해 봅시다. 보통은 회전, 전단, 확대, 축소처럼 여러 방향을 섞거나 바꿉니다. 그런데 어떤 방향들은 원래 있던 직선에서 벗어나지 않고 그대로 남을 수 있습니다.

그 특별한 방향들이 바로 고유벡터입니다. 고유값은 그 방향을 따라 행렬이 무엇을 하는지 알려줍니다.

• $\lambda > 1$이면 벡터가 늘어납니다.
• $0 < \lambda < 1$이면 벡터가 줄어듭니다.
• $\lambda < 0$이면 크기가 바뀌면서 방향이 반대로 뒤집힙니다.
• $\lambda = 0$이면 행렬이 그 고유벡터를 영벡터로 보냅니다.

영벡터는 절대로 고유벡터로 세지 않습니다. 만약 영벡터를 허용하면 모든 행렬이 그것을 가지게 되어, 개념의 의미가 사라지기 때문입니다.

고유값과 고유벡터를 구하는 방법

다음 식에서 시작합니다.

$$Av = \lambda v.$$

모든 항을 한쪽으로 옮기면

$$(A - \lambda I)v = 0.$$

이것은 동차연립방정식입니다. 이 식이 0이 아닌 해 $v$를 가지려면 행렬 $A - \lambda I$가 특이행렬이어야 하므로,

$$\det(A - \lambda I) = 0.$$

이 방정식을 풀면 고유값이 나옵니다. 그리고 각 고유값에 대해

$$(A - \lambda I)v = 0$$

을 풀면 대응하는 고유벡터를 구할 수 있습니다.

이 방법은 정사각행렬에 적용됩니다. 행렬이 정사각형이 아니면, 표준적인 고유값 문제는 이 형태로 정의되지 않습니다.

예제로 보기: 2x2 행렬

다음을 생각해 봅시다.

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}.$$

먼저 고유값을 구하고, 그다음 각각에 대응하는 고유벡터를 구해 보겠습니다.

1단계: $\det(A - \lambda I)$ 계산하기

먼저

$$A - \lambda I = \begin{bmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 0 & 3 - \lambda \end{bmatrix}.$$

를 만듭니다.

이제 행렬식을 구하면

$$\det(A - \lambda I) = (2 - \lambda)(3 - \lambda).$$

행렬식을 0과 같게 두면

$$(2 - \lambda)(3 - \lambda) = 0.$$

따라서 고유값은

$$\lambda = 2 \quad \text{and} \quad \lambda = 3.$$

입니다.

2단계: $\lambda = 2$일 때의 고유벡터 구하기

$\lambda = 2$를 $(A - \lambda I)v = 0$에 대입하면

$$A - 2I = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.$$

입니다.

이제 $v = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$라고 두면,

$$\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$

이므로 $y = 0$을 얻습니다. 변수 $x$는 자유변수이므로, $x$축 위의 모든 0이 아닌 벡터가 해가 됩니다. 가장 간단한 선택은

$$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$$

이며, 이 벡터의 0이 아닌 상수배도 모두 $\lambda = 2$에 대한 고유벡터입니다.

3단계: $\lambda = 3$일 때의 고유벡터 구하기

이제 $\lambda = 3$을 사용하면

$$A - 3I = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}.$$

입니다.

다음을 풀면

$$\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}.$$

$-x + y = 0$이므로 $y = x$입니다. 가장 간단한 선택은

$$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

이며, 이 벡터의 0이 아닌 상수배도 모두 $\lambda = 3$에 대한 고유벡터입니다.

4단계: 한 쌍 확인하기

$\lambda = 3$에 대해 $v = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$를 택해 봅시다.

$$Av = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \end{bmatrix} = 3 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}.$$

따라서 확인이 맞습니다. 즉, $Av = 3v$입니다.

직관적으로 보기: 왜 이 벡터들이 특별할까?

평면이 행렬 $A$에 의해 변환된다고 상상해 보면, 대부분의 화살표는 새로운 방향으로 기울어집니다. 고유벡터는 자기 자신의 직선 위에 그대로 남는 드문 화살표입니다.

그래서 고유벡터가 중요합니다. 행렬의 각 원소만 들여다보는 것보다, 변환 안에 숨어 있는 단순한 방향을 찾아내는 편이 훨씬 유용한 경우가 많기 때문입니다.

고유값과 고유벡터를 구할 때 자주 하는 실수

1. 고유벡터는 반드시 0이 아닌 벡터여야 한다는 점을 잊는 것
2. 특히 행렬식 계산 단계에서 $\det(A - \lambda I) = 0$을 잘못 푸는 것
3. 고유값만 구하고, 대응하는 고유벡터는 구하지 않는 것
4. 모든 정사각행렬이 기저를 이룰 만큼 충분한 독립인 고유벡터를 가진다고 가정하는 것. 그렇지 않은 경우도 있습니다.
5. 모든 실수 행렬이 실수 고유값을 가진다고 가정하는 것. 이는 행렬에 따라 다릅니다.

고유값과 고유벡터는 어디에 쓰일까?

선형 과정에 특별한 방향이나 자연스러운 모드가 있을 때마다 고유값과 고유벡터가 등장합니다.

대표적인 예로는 미분방정식, 진동 문제, 동역학계, 마르코프 모형, 주성분분석이 있습니다. 분야에 따라 해석은 달라지지만, 패턴은 같습니다. 변환이 단순한 스케일링처럼 작용하는 방향을 찾는 것입니다.

비슷한 문제를 직접 풀어 보세요

다음 행렬에 대해서도 같은 과정을 해 보세요.

$$\begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}.$$

먼저 고유값을 구한 뒤, 고유벡터를 구하고, 직접 곱해서 한 쌍이 맞는지도 확인해 보세요. 한 단계 더 나아가고 싶다면, 계산 도구에 직접 넣어 보고 최종 숫자만이 아니라 고유값-고유벡터 쌍 전체를 비교해 보세요.