行列 — 種類・演算・行列式

行列は、数を行と列に並べた長方形の配列です。行列を手早く理解するには、4つの点に注目するとよいです。つまり、サイズ、よくある行列の種類、どの演算が定義されるか、そして正方行列のときに行列式が何を教えてくれるかです。

行列はデータを整理するのに使えますが、線形代数の初歩では、ベクトルを変換する規則も表します。最初から理論全体を知る必要はありません。まずは、サイズがルールを決めることを押さえれば十分です。

行列のサイズ：行と列

行列のサイズは、行数×列数で表します。たとえば、

$$\begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 4 & -3 & 5 \end{bmatrix}$$

は、$2$行$3$列なので $2 \times 3$ 行列です。

このサイズは単なるラベルではありません。行列に何ができるか、どの演算に意味があるかを決めます。

よくある行列の種類

行列の入門問題では、よく使う種類は限られています。

行行列と列行列

行行列は、$1 \times 3$ 行列のように行が1つだけの行列です。列行列は、$3 \times 1$ 行列のように列が1つだけの行列です。

正方行列

正方行列は、$2 \times 2$ や $3 \times 3$ のように、行数と列数が同じ行列です。行列式や逆行列は、正方行列に対してのみ定義されます。

対角行列

対角行列は正方行列で、主対角線以外の成分がすべて $0$ の行列です。重要な値がその対角線上に集まっているので、扱いやすいことが多いです。

単位行列

単位行列は、掛け算における数の $1$ に対応する行列です。$2 \times 2$ の場合は

$$I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

で、$I$ を掛けても、サイズが合う行列は変わりません。

零行列

零行列は、すべての成分が $0$ の行列です。サイズはいろいろあり、同じサイズの行列どうしの加法における $0$ の役割をします。

行列の演算：定義されるものとされないもの

加法と減法

行列の加法や減法ができるのは、サイズがまったく同じ場合だけです。計算は対応する成分どうしで行います。

サイズが異なると、その演算は定義されません。

スカラー倍

行列を1つの数で掛けることをスカラー倍といいます。このとき、すべての成分をその数で掛けます。

たとえば、

$$3 \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -6 \\ 12 & 0 \end{bmatrix}$$

行列の積

行列の積は、別のルールに従います。$A$ が $m \times n$ 行列、$B$ が $n \times p$ 行列なら、$AB$ は定義され、その結果は $m \times p$ 行列になります。

内側の次元が一致していなければなりません。条件は

$$(m \times n)(n \times p)$$

なら定義されますが、

$$(m \times n)(r \times p)$$

は、$n \ne r$ のとき定義されません。

順序も重要です。両方の積が存在しても、$AB$ と $BA$ はふつう異なります。

転置

行列の転置は、行と列を入れ替えたものです。$2 \times 3$ 行列は $3 \times 2$ 行列になります。

これは多くの公式で重要です。転置すると、掛け算のときの並び方が変わるからです。

行列式：何がわかるのか

行列式は、正方行列に対応する1つの数です。正方行列でない場合には定義されません。

$2 \times 2$ 行列

$$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},$$

に対して、行列式は

$$\det(A) = ad - bc$$

です。

初学者の段階で最も役立つ見方は、次のとおりです。

• $\det(A) \ne 0$ なら、その行列は可逆です。
• $\det(A) = 0$ なら、その行列は可逆ではありません。

幾何学的には、$2 \times 2$ 行列では $|\det(A)|$ は面積が何倍に拡大・縮小されるかを表します。符号は、向きが保たれるか反転するかを示します。

行列の計算例

次を考えます。

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$

これは正方行列なので、行列式が定義されます。$ad-bc$ を使って計算すると、

$$\det(A) = (2)(4) - (1)(3) = 8 - 3 = 5$$

となります。

$\det(A) = 5 \ne 0$ なので、この行列は可逆です。

この1つの例で、主要な考え方がつながります。

• この行列は $2 \times 2$ なので正方行列です。
• 正方行列なので、行列式が定義されます。
• 行列式が $0$ でなければ、逆行列をもちます。
• 平面の変換として見ると、この行列は符号付き面積を $5$ 倍します。

これが、行列式が重要な理由です。単に計算する数ではありません。行列の構造についての情報を与えてくれます。

行列でよくあるミス

よくあるミスの1つは、サイズの違う行列を足そうとすることです。もう1つは、内側の次元を確認せずに行列の積を計算しようとすることです。

また、$AB=BA$ だと思い込むこともよくあります。行列では、これはふつう成り立ちません。

行列式では、正方行列でないものに適用してしまうのが代表的なミスです。ほかにも、$2 \times 2$ の公式を $ad-bc$ ではなく $ad+bc$ と覚え違いすることがあります。

行列はどこで使われるか

行列は、多くの量の関係を一度に整理したい場面で現れます。初歩の授業では、連立方程式や線形変換で使われます。

さらに、コンピュータグラフィックス、データ解析、工学モデル、数値計算にも登場します。分野によって細部は異なりますが、サイズ、積、可逆性に関する基本ルールはどこでも重要です。

似た行列の問題に挑戦してみよう

小さな $2 \times 2$ 行列を1つ選び、4つの問いに答えてみましょう。サイズはいくつか、正方行列か、行列式はいくつか、逆行列をもつか、です。

あとで電卓を使うとしても、計算する前に答えを予想してみてください。そうすれば、道具は理解の代わりではなく確認のために使えます。