Trị riêng và vectơ riêng — Hướng dẫn từng bước

Trị riêng và vectơ riêng cho biết những hướng nào mà một ma trận vuông chỉ làm thay đổi độ lớn thay vì xoay đi. Với ma trận vuông $A$, một vectơ riêng là vectơ khác không $v$ sao cho

$$Av = \lambda v$$

với một số vô hướng $\lambda$. Số $\lambda$ được gọi là trị riêng. Nếu bạn chỉ cần ý chính, thì đó là: vectơ riêng vẫn nằm trên cùng một đường thẳng, còn trị riêng cho biết hệ số co giãn trên đường đó.

Phần lớn các vectơ sẽ đổi hướng khi qua tác động của ma trận. Vectơ riêng thì không. Nó có thể bị kéo dài, thu ngắn hoặc đảo chiều nếu $\lambda < 0$, nhưng vẫn nằm trên cùng một đường thẳng.

Ý nghĩa của $Av = \lambda v$

Hãy xem ma trận như một phép biến đổi. Thông thường nó sẽ quay, cắt xiên, kéo giãn hoặc trộn các hướng với nhau. Nhưng có một số hướng đặc biệt vẫn giữ được đường thẳng ban đầu của chúng sau phép biến đổi.

Những hướng đặc biệt đó chính là các vectơ riêng. Trị riêng cho biết ma trận tác động thế nào theo hướng ấy:

• Nếu $\lambda > 1$, vectơ bị kéo giãn.
• Nếu $0 < \lambda < 1$, vectơ bị thu nhỏ.
• Nếu $\lambda < 0$, vectơ vừa bị co giãn vừa bị đảo chiều.
• Nếu $\lambda = 0$, ma trận biến vectơ riêng đó thành vectơ không.

Vectơ không không bao giờ được tính là vectơ riêng. Nếu cho phép nó, mọi ma trận đều sẽ có nó, và khái niệm này sẽ mất ý nghĩa.

Cách tìm trị riêng và vectơ riêng

Bắt đầu với

$$Av = \lambda v.$$

Chuyển mọi thứ về một vế:

$$(A - \lambda I)v = 0.$$

Đây là một hệ thuần nhất. Để hệ có nghiệm khác không $v$, ma trận $A - \lambda I$ phải suy biến, nên

$$\det(A - \lambda I) = 0.$$

Giải phương trình đó sẽ cho các trị riêng. Sau đó, với mỗi trị riêng, giải

$$(A - \lambda I)v = 0$$

để tìm các vectơ riêng tương ứng.

Phương pháp này áp dụng cho ma trận vuông. Nếu ma trận không vuông thì bài toán trị riêng theo dạng chuẩn này không được định nghĩa.

Ví dụ có lời giải: ma trận 2x2

Cho

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}.$$

Ta sẽ tìm trị riêng trước, rồi tìm các vectơ riêng tương ứng.

Bước 1: Tính $\det(A - \lambda I)$

Trước hết lập

$$A - \lambda I = \begin{bmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 0 & 3 - \lambda \end{bmatrix}.$$

Bây giờ tính định thức:

$$\det(A - \lambda I) = (2 - \lambda)(3 - \lambda).$$

Cho định thức bằng 0:

$$(2 - \lambda)(3 - \lambda) = 0.$$

Vậy các trị riêng là

$$\lambda = 2 \quad \text{và} \quad \lambda = 3.$$

Bước 2: Tìm vectơ riêng ứng với $\lambda = 2$

Thay $\lambda = 2$ vào $(A - \lambda I)v = 0$:

$$A - 2I = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.$$

Đặt $v = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$. Khi đó

$$\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$

suy ra $y = 0$. Biến $x$ là tự do, nên mọi vectơ khác không trên trục $x$ đều thỏa mãn. Một lựa chọn đơn giản là

$$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$$

và mọi bội khác không của nó cũng là vectơ riêng ứng với $\lambda = 2$.

Bước 3: Tìm vectơ riêng ứng với $\lambda = 3$

Bây giờ dùng $\lambda = 3$:

$$A - 3I = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}.$$

Giải

$$\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}.$$

Ta được $-x + y = 0$, nên $y = x$. Một lựa chọn đơn giản là

$$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

và mọi bội khác không của nó cũng là vectơ riêng ứng với $\lambda = 3$.

Bước 4: Kiểm tra một cặp

Lấy $v = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ với $\lambda = 3$:

$$Av = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \end{bmatrix} = 3 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}.$$

Vậy phép kiểm tra đúng: $Av = 3v$.

Trực giác: vì sao các vectơ này đặc biệt

Nếu bạn hình dung mặt phẳng đang được biến đổi bởi $A$, thì phần lớn các mũi tên sẽ nghiêng sang hướng mới. Vectơ riêng là những mũi tên hiếm hoi vẫn nằm trên chính đường thẳng của chúng.

Đó là lý do chúng quan trọng. Chúng cho thấy những hướng đơn giản ẩn bên trong phép biến đổi, và điều đó thường hữu ích hơn là chỉ nhìn chằm chằm vào các phần tử của ma trận.

Những lỗi thường gặp khi tìm trị riêng và vectơ riêng

1. Quên rằng vectơ riêng phải là vectơ khác không.
2. Giải sai $\det(A - \lambda I) = 0$, đặc biệt ở bước tính định thức.
3. Tìm được trị riêng nhưng không giải tiếp để tìm các vectơ riêng tương ứng.
4. Cho rằng mọi ma trận vuông đều có đủ số vectơ riêng độc lập để tạo thành một cơ sở. Không phải ma trận nào cũng vậy.
5. Cho rằng mọi ma trận thực đều có trị riêng thực. Điều đó còn tùy vào ma trận.

Trị riêng và vectơ riêng được dùng ở đâu

Chúng xuất hiện bất cứ khi nào một quá trình tuyến tính có các hướng ưu tiên hoặc các mode tự nhiên.

Những ví dụ quen thuộc gồm phương trình vi phân, bài toán dao động, hệ động lực, mô hình Markov và phân tích thành phần chính. Ý nghĩa cụ thể thay đổi theo từng lĩnh vực, nhưng khuôn mẫu thì giống nhau: tìm những hướng mà phép biến đổi chỉ tác động như một phép co giãn đơn giản.

Hãy thử một bài tương tự

Hãy áp dụng đúng quy trình đó cho

$$\begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}.$$

Tìm trị riêng trước, rồi giải để tìm vectơ riêng, và kiểm tra một cặp bằng phép nhân trực tiếp. Nếu muốn đi thêm một bước, hãy thử phiên bản của riêng bạn trong một công cụ giải và so sánh các cặp riêng, không chỉ các con số cuối cùng.