Autovalori e autovettori — guida passo passo

Autovalori e autovettori ti dicono quali direzioni una matrice quadrata si limita a scalare invece di ruotare. Per una matrice quadrata $A$, un autovettore è un vettore non nullo $v$ tale che

$$Av = \lambda v$$

per qualche scalare $\lambda$. Il numero $\lambda$ è l’autovalore. Se ti serve solo l’idea centrale, è questa: gli autovettori restano sulla stessa retta, mentre gli autovalori indicano il fattore di scala su quella retta.

La maggior parte dei vettori cambia direzione sotto l’azione di una matrice. Un autovettore no. Può essere allungato, accorciato o invertito se $\lambda < 0$, ma resta sulla stessa retta.

Cosa significa $Av = \lambda v$

Pensa a una matrice come a una trasformazione. Di solito ruota, deforma, allunga o mescola le direzioni. Ma alcune direzioni possono attraversare quella trasformazione senza allontanarsi dalla loro retta originaria.

Quelle direzioni speciali sono gli autovettori. L’autovalore dice che cosa fa la matrice lungo quella direzione:

• Se $\lambda > 1$, il vettore viene allungato.
• Se $0 < \lambda < 1$, il vettore viene accorciato.
• Se $\lambda < 0$, il vettore viene scalato e invertito.
• Se $\lambda = 0$, la matrice manda quell’autovettore nel vettore nullo.

Il vettore nullo non viene mai considerato un autovettore. Se fosse ammesso, ogni matrice lo avrebbe, e l’idea perderebbe significato.

Come trovare autovalori e autovettori

Parti da

$$Av = \lambda v.$$

Porta tutto da un lato:

$$(A - \lambda I)v = 0.$$

Questo è un sistema omogeneo. Perché abbia una soluzione non nulla $v$, la matrice $A - \lambda I$ deve essere singolare, quindi

$$\det(A - \lambda I) = 0.$$

Risolvendo questa equazione si trovano gli autovalori. Poi, per ciascun autovalore, risolvi

$$(A - \lambda I)v = 0$$

per ottenere gli autovettori corrispondenti.

Questo metodo si applica alle matrici quadrate. Se la matrice non è quadrata, il problema standard degli autovalori non è definito in questa forma.

Esempio svolto: una matrice 2x2

Sia

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}.$$

Troveremo prima gli autovalori, poi gli autovettori associati.

Passo 1: Calcola $\det(A - \lambda I)$

Per prima cosa forma

$$A - \lambda I = \begin{bmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 0 & 3 - \lambda \end{bmatrix}.$$

Ora calcola il determinante:

$$\det(A - \lambda I) = (2 - \lambda)(3 - \lambda).$$

Poni il determinante uguale a zero:

$$(2 - \lambda)(3 - \lambda) = 0.$$

Quindi gli autovalori sono

$$\lambda = 2 \quad \text{e} \quad \lambda = 3.$$

Passo 2: Trova gli autovettori per $\lambda = 2$

Sostituisci $\lambda = 2$ in $(A - \lambda I)v = 0$:

$$A - 2I = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.$$

Sia $v = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$. Allora

$$\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$

da cui si ottiene $y = 0$. La variabile $x$ è libera, quindi va bene ogni vettore non nullo sull’asse $x$. Una scelta semplice è

$$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$$

e anche ogni suo multiplo non nullo è un autovettore per $\lambda = 2$.

Passo 3: Trova gli autovettori per $\lambda = 3$

Ora usa $\lambda = 3$:

$$A - 3I = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}.$$

Risolvi

$$\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}.$$

Questo dà $-x + y = 0$, quindi $y = x$. Una scelta semplice è

$$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

e anche ogni suo multiplo non nullo è un autovettore per $\lambda = 3$.

Passo 4: Verifica una coppia

Prendi $v = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ per $\lambda = 3$:

$$Av = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \end{bmatrix} = 3 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}.$$

Quindi la verifica funziona: $Av = 3v$.

Intuizione: perché questi vettori sono speciali

Se immagini il piano trasformato da $A$, la maggior parte delle frecce si inclina verso nuove direzioni. Gli autovettori sono le rare frecce che restano sulla propria retta.

Per questo sono importanti. Rivelano le direzioni semplici nascoste nella trasformazione, cosa che spesso è più utile che fissare gli elementi della matrice.

Errori comuni quando si calcolano autovalori e autovettori

1. Dimenticare che gli autovettori devono essere non nulli.
2. Risolvere in modo errato $\det(A - \lambda I) = 0$, soprattutto nel passaggio del determinante.
3. Trovare gli autovalori ma non risolvere per gli autovettori corrispondenti.
4. Supporre che ogni matrice quadrata abbia abbastanza autovettori indipendenti da formare una base. Alcune non li hanno.
5. Supporre che ogni matrice reale abbia autovalori reali. Dipende dalla matrice.

Dove si usano autovalori e autovettori

Compaiono ogni volta che un processo lineare ha direzioni privilegiate o modi naturali.

Esempi comuni includono equazioni differenziali, problemi di vibrazione, sistemi dinamici, modelli di Markov e analisi delle componenti principali. Il significato cambia a seconda del campo, ma lo schema è lo stesso: trovare direzioni in cui la trasformazione agisce come una semplice scalatura.

Prova un esercizio simile

Prova lo stesso procedimento per

$$\begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}.$$

Trova prima gli autovalori, poi risolvi per gli autovettori e verifica una coppia con una moltiplicazione diretta. Se vuoi fare un passo in più, prova la tua versione in un risolutore e confronta le coppie autovalore-autovettore, non solo i numeri finali.