Valeurs propres et vecteurs propres — Guide pas à pas

Les valeurs propres et les vecteurs propres indiquent quelles directions une matrice carrée se contente de redimensionner au lieu de faire tourner. Pour une matrice carrée $A$, un vecteur propre est un vecteur non nul $v$ tel que

$$Av = \lambda v$$

pour un certain scalaire $\lambda$. Le nombre $\lambda$ est la valeur propre. Si vous avez seulement besoin de l’idée essentielle, la voici : les vecteurs propres gardent leur droite, tandis que les valeurs propres donnent le facteur d’échelle sur cette droite.

La plupart des vecteurs changent de direction sous l’action d’une matrice. Un vecteur propre, lui, ne change pas de direction. Il peut être étiré, raccourci ou inversé si $\lambda < 0$, mais il reste sur la même droite.

Ce que signifie $Av = \lambda v$

Considérez une matrice comme une transformation. En général, elle fait tourner, cisaille, étire ou mélange les directions. Mais certaines directions peuvent traverser cette transformation sans s’écarter de leur droite d’origine.

Ces directions particulières sont les vecteurs propres. La valeur propre indique ce que la matrice fait dans cette direction :

• Si $\lambda > 1$, le vecteur est étiré.
• Si $0 < \lambda < 1$, le vecteur est raccourci.
• Si $\lambda < 0$, le vecteur est redimensionné et inversé.
• Si $\lambda = 0$, la matrice envoie ce vecteur propre sur le vecteur nul.

Le vecteur nul n’est jamais considéré comme un vecteur propre. S’il était autorisé, toute matrice l’aurait, et l’idée perdrait son sens.

Comment trouver les valeurs propres et les vecteurs propres

On part de

$$Av = \lambda v.$$

On regroupe tout d’un côté :

$$(A - \lambda I)v = 0.$$

C’est un système homogène. Pour qu’il admette une solution non nulle $v$, la matrice $A - \lambda I$ doit être singulière, donc

$$\det(A - \lambda I) = 0.$$

La résolution de cette équation donne les valeurs propres. Ensuite, pour chaque valeur propre, on résout

$$(A - \lambda I)v = 0$$

pour obtenir les vecteurs propres correspondants.

Cette méthode s’applique aux matrices carrées. Si la matrice n’est pas carrée, le problème standard des valeurs propres n’est pas défini sous cette forme.

Exemple détaillé : une matrice 2x2

Soit

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}.$$

Nous allons d’abord trouver les valeurs propres, puis les vecteurs propres associés.

Étape 1 : Calculer $\det(A - \lambda I)$

On forme d’abord

$$A - \lambda I = \begin{bmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 0 & 3 - \lambda \end{bmatrix}.$$

On calcule ensuite le déterminant :

$$\det(A - \lambda I) = (2 - \lambda)(3 - \lambda).$$

On pose le déterminant égal à zéro :

$$(2 - \lambda)(3 - \lambda) = 0.$$

Les valeurs propres sont donc

$$\lambda = 2 \quad \text{et} \quad \lambda = 3.$$

Étape 2 : Trouver les vecteurs propres pour $\lambda = 2$

On remplace $\lambda = 2$ dans $(A - \lambda I)v = 0$ :

$$A - 2I = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.$$

Posons $v = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$. Alors

$$\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$

ce qui donne $y = 0$. La variable $x$ est libre, donc tout vecteur non nul de l’axe des $x$ convient. Un choix simple est

$$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$$

et tout multiple non nul de ce vecteur est aussi un vecteur propre pour $\lambda = 2$.

Étape 3 : Trouver les vecteurs propres pour $\lambda = 3$

On prend maintenant $\lambda = 3$ :

$$A - 3I = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}.$$

On résout

$$\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}.$$

On obtient $-x + y = 0$, donc $y = x$. Un choix simple est

$$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

et tout multiple non nul de ce vecteur est aussi un vecteur propre pour $\lambda = 3$.

Étape 4 : Vérifier un couple

Prenons $v = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ pour $\lambda = 3$ :

$$Av = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \end{bmatrix} = 3 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}.$$

La vérification fonctionne donc : $Av = 3v$.

Intuition : pourquoi ces vecteurs sont particuliers

Si vous imaginez le plan transformé par $A$, la plupart des flèches s’inclinent vers de nouvelles directions. Les vecteurs propres sont les rares flèches qui restent sur leur propre droite.

C’est pour cela qu’ils sont importants. Ils révèlent les directions simples cachées dans la transformation, ce qui est souvent plus utile que de regarder seulement les coefficients de la matrice.

Erreurs fréquentes lors du calcul des valeurs propres et des vecteurs propres

1. Oublier que les vecteurs propres doivent être non nuls.
2. Résoudre incorrectement $\det(A - \lambda I) = 0$, surtout à l’étape du déterminant.
3. Trouver les valeurs propres sans calculer les vecteurs propres correspondants.
4. Supposer que toute matrice carrée possède assez de vecteurs propres indépendants pour former une base. Ce n’est pas toujours le cas.
5. Supposer que toute matrice réelle a des valeurs propres réelles. Cela dépend de la matrice.

Où sont utilisées les valeurs propres et les vecteurs propres

Ils apparaissent dès qu’un processus linéaire possède des directions privilégiées ou des modes naturels.

On les rencontre souvent dans les équations différentielles, les problèmes de vibrations, les systèmes dynamiques, les modèles de Markov et l’analyse en composantes principales. Le sens change selon le domaine, mais le schéma reste le même : trouver les directions où la transformation agit comme une simple mise à l’échelle.

Essayez un problème similaire

Essayez le même procédé pour

$$\begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}.$$

Trouvez d’abord les valeurs propres, puis résolvez pour obtenir les vecteurs propres, et vérifiez un couple par multiplication directe. Si vous voulez aller un peu plus loin, essayez votre propre version dans un solveur et comparez les couples propres, pas seulement les nombres finaux.