Meccanica quantistica — dualismo onda-particella ed equazione di Schrödinger

Le basi della meccanica quantistica iniziano con un cambio di prospettiva: i sistemi microscopici non si comportano né come particelle puramente classiche né come onde puramente classiche. Il dualismo onda-particella spiega perché un elettrone può produrre una figura di interferenza ma venire comunque rivelato in un punto preciso, e l’equazione di Schrödinger è la principale equazione non relativistica usata per prevedere come cambia quello stato quantistico.

Per molti problemi introduttivi, questo è il quadro pratico: si usa una funzione d’onda $\psi$, si calcola come si comporta nelle condizioni del sistema e si interpreta $|\psi|^2$ come densità di probabilità dopo la normalizzazione.

Il dualismo onda-particella significa che i modelli classici sono incompleti

Il dualismo onda-particella non significa che un oggetto minuscolo sia di nascosto una biglia classica in un momento e un’onda d’acqua in quello successivo. Significa che le categorie classiche sono troppo limitate per i sistemi microscopici.

In un esperimento a doppia fenditura, un fascio di elettroni può costruire una figura di interferenza, che è un comportamento ondulatorio. Ma ogni singola rivelazione è localizzata sullo schermo, che è un comportamento corpuscolare. Lo stesso esperimento mostra perché si usa il termine "dualismo": un’unica configurazione rivela entrambe le caratteristiche.

Per le onde di materia, una relazione utile è la lunghezza d’onda di de Broglie

$$\lambda = \frac{h}{p}$$

dove $p$ è la quantità di moto e $h$ è la costante di Planck. Una quantità di moto maggiore significa una lunghezza d’onda più corta.

L’equazione di Schrödinger dice come evolve lo stato

Il dualismo onda-particella fornisce l’intuizione. L’equazione di Schrödinger fornisce la regola operativa.

Per una particella non relativistica, l’equazione di Schrödinger dipendente dal tempo si scrive comunemente come

$$i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \left( -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V \right)\psi$$

Qui $m$ è la massa della particella e $V$ è l’energia potenziale. L’equazione non prevede una singola traiettoria classica. Prevede come cambia la funzione d’onda e, a partire da quella funzione d’onda, si calcolano le probabilità dei risultati di misura.

Se il potenziale non dipende dal tempo e vuoi stati stazionari, spesso usi la forma indipendente dal tempo. In una dimensione,

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} + V(x)\psi = E\psi$$

Questo è un caso particolare dell’equazione dipendente dal tempo, non una legge separata. Usala solo in quella condizione.

Qui conta una precisazione. L’equazione di Schrödinger è il punto di partenza standard della meccanica quantistica non relativistica, soprattutto per particelle massive come gli elettroni in modelli semplici. Il dualismo onda-particella è più ampio di quella sola equazione, quindi non dovresti trattare l’equazione di Schrödinger come la teoria completa di ogni sistema quantistico.

Esempio svolto: particella in una scatola 1D

Considera una particella non relativistica idealizzata intrappolata tra pareti rigide in $x=0$ e $x=L$. All’interno della scatola, poni $V(x)=0$, e all’esterno la particella è esclusa. Allora la funzione d’onda deve soddisfare

$$\psi(0) = 0, \qquad \psi(L) = 0$$

Queste condizioni al contorno significano che nella scatola possono stare solo onde stazionarie. Quindi le lunghezze d’onda ammesse sono

$$\lambda_n = \frac{2L}{n}, \qquad n = 1,2,3,\dots$$

Usando la relazione di de Broglie, le quantità di moto ammesse sono

$$p_n = \frac{h}{\lambda_n} = \frac{nh}{2L}$$

e per una particella non relativistica in questa regione le energie ammesse sono

$$E_n = \frac{p_n^2}{2m} = \frac{n^2 h^2}{8mL^2}$$

L’equazione di Schrödinger indipendente dal tempo dà lo stesso risultato quando la risolvi con le stesse condizioni al contorno. Questo è il collegamento chiave: il quadro ondulatorio e l’equazione concordano sul fatto che la particella non può avere un’energia qualsiasi in questo modello.

Lo stato consentito più basso è $n=1$, quindi l’energia non è zero. In questo modello, le condizioni al contorno impongono un’onda stazionaria, e anche l’onda stazionaria più semplice ha curvatura e quindi energia non nulla.

Se raddoppi la larghezza della scatola portandola a $2L$, ogni energia ammessa diventa quattro volte più piccola perché $E_n \propto 1/L^2$. Questo è un modo chiaro per vedere come il confinamento modifica un sistema quantistico.

Errori comuni nelle basi della meccanica quantistica

• Trattare un oggetto quantistico come un’onda classica in un momento e come una particella classica in un altro. Il punto è che nessuno dei due quadri classici è da solo pienamente adeguato.
• Leggere $\psi$ come una probabilità. Nel quadro standard della funzione d’onda, la densità di probabilità è $|\psi|^2$ dopo la normalizzazione.
• Usare l’equazione di Schrödinger indipendente dal tempo in situazioni in cui il potenziale cambia nel tempo.
• Supporre che l’energia sia sempre quantizzata nello stesso modo. Livelli energetici discreti richiedono di solito condizioni come il confinamento o stati legati.

Dove si usano il dualismo onda-particella e l’equazione di Schrödinger

Il dualismo onda-particella e l’equazione di Schrödinger sono strumenti fondamentali nella fisica atomica, nel legame chimico, nell’effetto tunnel, nei modelli dei semiconduttori e nei pozzi quantici. Sono particolarmente utili quando contano il confinamento, l’interferenza o i livelli energetici discreti.

Per i grandi oggetti della vita quotidiana, la meccanica classica è di solito un’approssimazione eccellente. Per velocità molto elevate o per problemi quantistici pienamente relativistici, l’equazione di Schrödinger non è il modello completo.

Prova un problema simile di meccanica quantistica

Mantieni lo stesso modello della scatola, ma cambia la larghezza da $L$ a $3L$. Prevedi che cosa succede a $E_1$ prima di fare qualsiasi calcolo algebrico. Se vuoi verificare la tua comprensione, prova una tua variante chiedendoti come cambia l’intera scala dei livelli energetici quando la scatola diventa più larga o più stretta.