Équations du mouvement

L'équation du mouvement est une formule qui relie la force résultante s'exerçant sur un objet et son accélération. En physique du lycée, pour un objet dont la masse est constante, on l'écrit :

$\sum F = ma$

Le point essentiel à retenir lorsque vous recherchez les « équations du mouvement » est que $F=ma$ n'indique pas simplement que « s'il y a une force, la vitesse change », mais plutôt que « s'il y a une force résultante, une accélération est créée ».

La direction de l'accélération est la même que celle de la force résultante. De plus, plus la masse $m$ est grande, plus l'accélération sera faible pour une même force résultante. En résumé, l'équation du mouvement est la règle qui détermine « dans quelle direction et avec quelle intensité la vitesse va varier ».

Que représente l'équation du mouvement ?

Le cœur de l'équation du mouvement est que la force ne détermine pas directement la vitesse, mais la variation de la vitesse. La présence d'une force crée une accélération, et si cette accélération persiste, la vitesse change.

Si la force résultante est $0$, alors :

$\sum F = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 0$

Dans ce cas, l'objet reste immobile ou continue un mouvement rectiligne uniforme. Même si l'accélération est $0$, cela ne signifie pas nécessairement que la vitesse est $0$.

Quand utiliser $F=ma$ ?

Cette forme de $F=ma$ est utilisée dans les problèmes où l'on peut considérer la masse comme constante. La plupart des exercices de physique sur les chariots, les plans inclinés, les chutes libres ou les ressorts respectent cette condition.

En revanche, dans des situations où la masse change, comme une fusée qui consomme son carburant, il est risqué de se contenter de $F=ma$. Avant de l'utiliser, vérifiez toujours : « Peut-on considérer la masse comme constante dans ce problème ? ».

Comment établir l'équation du mouvement

1. Choisir un objet.
2. Représenter les forces s'exerçant sur cet objet sous forme de schéma.
3. Définir l'axe positif (le sens positif).
4. Calculer la force résultante pour chaque axe.
5. Établir $\sum F = ma$ pour trouver l'accélération.

Le point crucial est de ne pas insérer de valeurs numériques dans $ma$ dès le début. Organisez d'abord les forces, puis établissez l'équation avec la force résultante finale. Pour les plans inclinés ou les mouvements bidimensionnels, la base consiste à décomposer les forces en composantes et à réfléchir séparément pour l'axe $x$ et l'axe $y$.

Exemple : Calcul de l'accélération sur un plan horizontal avec frottements

Considérons un objet de masse $2\,\mathrm{kg}$ tiré vers la droite par une force $10\,\mathrm{N}$. Une force de frottement $4\,\mathrm{N}$ s'exerce vers la gauche. On considère que la masse est constante.

En prenant la droite comme sens positif, la force résultante est :

$\sum F = 10 - 4 = 6\,\mathrm{N}$

En appliquant maintenant l'équation du mouvement, on obtient :

$6 = 2a$

D'où :

$a = 3\,\mathrm{m/s^2}$

L'accélération est dirigée vers la droite car la force résultante est dirigée vers la droite.

Le point clé de cet exemple est de ne pas utiliser $10\,\mathrm{N}$ tel quel. Il faut prendre en compte les frottements et utiliser la force résultante finale $6\,\mathrm{N}$. Si vous hésitez, rappelez-vous : « Ce que l'on insère dans l'équation n'est pas une force unique, mais la force résultante ».

Erreurs courantes avec l'équation du mouvement

Utiliser une seule force au lieu de la force résultante

C'est l'erreur la plus fréquente. Ce que l'on insère dans l'équation du mouvement est la force résultante, et non simplement la force de poussée ou la gravité seule.

Écrire l'équation sans définir de sens

Si vous ne décidez pas si la droite ou la gauche est positive, les signes seront confus. En fixant le sens au préalable, il suffit d'insérer les forces dirigées vers la gauche avec un signe négatif.

Confondre l'équation du mouvement et les formules de l'accélération constante

Une formule telle que :

$v = v_0 + at,\qquad x = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2$

est une formule du mouvement uniformément accéléré. Ce n'est pas l'équation du mouvement elle-même. On utilise d'abord l'équation du mouvement pour trouver $a$, puis, si nécessaire, on passe aux formules de la vitesse ou de la position.

Penser que l'équilibre et le mouvement sont deux choses différentes

Que l'objet soit immobile ou se déplace à vitesse constante, si l'accélération est $0$, alors :

$\sum F = 0$

L'équilibre est donc simplement un cas particulier de l'équation du mouvement.

Dans quels cas utiliser l'équation du mouvement ?

L'équation du mouvement est utilisée dès que l'on veut déterminer le mouvement à partir des forces : chariots, plans inclinés, ascenseurs, chutes, mouvements circulaires, etc. Elle est le point de départ indispensable pour tout problème visant à « trouver l'accélération ».

Elle est encore plus efficace lorsqu'elle est combinée à un diagramme du corps libre. En organisant les forces sur un schéma avant d'écrire l'équation, on réduit considérablement les erreurs de signe ou l'oubli de certaines forces.

Le moyen mémo-technique : « Force résultante $\rightarrow$ Accélération $\rightarrow$ Variation de vitesse »

Il est plus simple de voir l'équation du mouvement comme suit : « La force résultante détermine l'accélération, et cette accélération entraîne une variation de la vitesse et de la position ». Si vous essayez de déterminer la vitesse directement à partir de la force, vous risquez de sauter l'étape de l'accélération et de vous embrouiller.

Pour aller plus loin

En utilisant le même exemple, essayez de calculer comment l'accélération change si vous modifiez la force de traction en $14\,\mathrm{N}$. En comparant les résultats en ne changeant qu'une seule valeur, le rôle de l'équation du mouvement deviendra beaucoup plus clair.