Traitement du signal — transformée de Fourier, filtres et échantillonnage

Le traitement du signal consiste à analyser ou modifier un signal afin d’en extraire des informations utiles. Un signal peut être une tension variable, un enregistrement sonore, une vibration ou une lumière mesurée par un détecteur. En pratique, les questions principales sont les suivantes : quelles fréquences sont présentes, quelles parties faut-il conserver, et à quelle vitesse faut-il échantillonner pour stocker le signal numériquement sans créer d’erreurs ?

Trois idées font l’essentiel du travail. La transformée de Fourier montre le contenu fréquentiel. Les filtres conservent certaines parties du signal et en atténuent d’autres. L’échantillonnage transforme un signal continu en données numériques, mais seulement si la fréquence d’échantillonnage est suffisamment élevée pour les fréquences à conserver.

Domaine temporel et domaine fréquentiel

Dans le domaine temporel, on observe comment le signal évolue instant après instant. Cette vue est utile lorsque le moment où quelque chose se produit compte, par exemple lorsqu’une impulsion arrive ou lorsqu’un capteur présente un pic.

Dans le domaine fréquentiel, on regarde le même signal comme un mélange de composantes fréquentielles. Cette vue est utile si l’on veut séparer une dérive lente d’une oscillation rapide, identifier une tonalité dominante ou comprendre l’effet d’un filtre.

Les deux vues décrivent le même signal. Elles répondent simplement à des questions différentes.

Ce que vous dit la transformée de Fourier

La transformée de Fourier réécrit un signal en termes de composantes sinusoïdales. En langage simple, elle demande quelle quantité de chaque fréquence est présente.

Pour un signal continu $x(t)$, la transformée s’écrit

$$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-i 2\pi f t}\,dt$$

Il n’est pas nécessaire de calculer cette intégrale à la main pour bien utiliser l’idée. L’intuition principale est qu’une forme d’onde compliquée peut souvent être comprise comme une combinaison d’oscillations plus simples.

Si le signal d’un microphone contient un ronflement à $200\ \mathrm{Hz}$ et une tonalité à $2000\ \mathrm{Hz}$, la courbe dans le domaine temporel peut sembler désordonnée, mais la vue fréquentielle peut montrer des pics près de ces fréquences. C’est souvent la manière la plus rapide de voir ce qui se passe réellement.

Comment les filtres modifient un signal

Un filtre modifie la façon dont les différentes fréquences traversent un système.

• Un filtre passe-bas conserve les basses fréquences et réduit les hautes fréquences.
• Un filtre passe-haut conserve les hautes fréquences et réduit les basses fréquences.
• Un filtre passe-bande conserve une plage choisie et réduit les fréquences situées en dehors.

Cette description dépend de la fréquence. Cela ne signifie pas que le filtre sait automatiquement ce qui est du « bruit ». Un filtre n’est utile que si la partie à supprimer est séparée de la partie à conserver par la fréquence, ou par une autre propriété que le filtre est conçu pour exploiter.

C’est pourquoi les filtres apparaissent dans le nettoyage audio, le lissage de capteurs, les systèmes de communication et les appareils de mesure.

Pourquoi la fréquence d’échantillonnage est importante

L’échantillonnage est le processus qui consiste à enregistrer un signal en temps continu à des instants discrets. Si la fréquence la plus élevée que vous devez préserver est $f_{\max}$, alors la fréquence d’échantillonnage doit vérifier

$$f_s > 2f_{\max}$$

pour éviter le repliement de spectre dans le modèle idéal de l’échantillonnage. Ce seuil, $2f_{\max}$, est la fréquence de Nyquist.

Le repliement de spectre signifie qu’un contenu de haute fréquence peut se faire passer pour une fréquence plus basse après l’échantillonnage. Une fois que cela se produit, les données échantillonnées peuvent indiquer un mauvais signal.

Dans les systèmes réels, les ingénieurs échantillonnent généralement au-dessus du strict minimum et utilisent souvent un filtre anti-repliement avant la numérisation. Cette marge supplémentaire est importante, car les signaux réels ne sont pas parfaitement limités en bande.

Exemple traité : supprimer un bruit haute fréquence d’un capteur

Supposons qu’un capteur de température doive varier lentement, mais que la tension mesurée contienne une ondulation électrique rapide. Un modèle simple est

$$x(t) = 2 + 0.3\sin(2\pi \cdot 1\, t) + 0.05\sin(2\pi \cdot 60\, t)$$

Ici, le terme constant $2$ est le niveau de base, le terme à $1\ \mathrm{Hz}$ est la variation physique lente qui vous intéresse, et le terme à $60\ \mathrm{Hz}$ est une interférence indésirable.

Le point de vue de la transformée de Fourier dit que le signal possède de l’énergie à trois positions fréquentielles principales :

• $0\ \mathrm{Hz}$ à cause du décalage constant
• $1\ \mathrm{Hz}$ à cause de la variation lente de température
• $60\ \mathrm{Hz}$ à cause de l’interférence

Si votre objectif est de conserver la tendance lente, un filtre passe-bas peut aider, car la partie utile est à basse fréquence et l’interférence est beaucoup plus élevée. Une fréquence de coupure située nettement au-dessus de $1\ \mathrm{Hz}$ mais nettement en dessous de $60\ \mathrm{Hz}$ réduirait l’ondulation tout en laissant la variation lente presque intacte.

Considérons maintenant l’échantillonnage. Si vous échantillonnez à $f_s = 20\ \mathrm{Hz}$, alors la fréquence de Nyquist vaut $10\ \mathrm{Hz}$. La composante à $60\ \mathrm{Hz}$ est au-dessus de cette limite, donc les données échantillonnées ne peuvent pas la représenter correctement à moins qu’elle ne soit supprimée avant l’échantillonnage. Dans un calcul idéal de repliement, une sinusoïde à $60\ \mathrm{Hz}$ échantillonnée à $20\ \mathrm{Hz}$ tombe sur des points d’échantillonnage qui se répètent exactement, si bien qu’elle peut même disparaître des échantillons. Cela ne signifie pas que l’interférence d’origine était inoffensive. Cela signifie que le processus d’échantillonnage l’a cachée d’une manière trompeuse.

Cet exemple relie les trois idées :

• la transformée de Fourier aide à identifier la composante indésirable
• le filtre la supprime parce qu’elle se trouve dans une plage de fréquences distincte
• la règle d’échantillonnage montre pourquoi le préfiltrage est important avant la numérisation

Erreurs fréquentes en traitement du signal

Considérer la transformée de Fourier comme une image complète

Les mesures réelles sont finies, bruitées et souvent variables dans le temps. Une représentation fréquentielle est utile, mais elle reste une interprétation de données mesurées, pas une empreinte parfaite de la réalité.

Filtrer sans préciser ce qui doit être conservé

Un filtre passe-bas réduit le bruit haute fréquence, mais il réduit aussi tout signal réel de haute fréquence. Un filtre n’est « bon » que par rapport à un objectif clairement défini.

Utiliser la fréquence de Nyquist comme cible de conception confortable

$f_s > 2f_{\max}$ est la condition minimale idéale. En pratique, travailler trop près de cette limite laisse peu de marge pour les filtres non idéaux et le contenu réel du signal.

Supposer que l’échantillonnage crée de l’information

L’échantillonnage ne fait qu’enregistrer ce qui est déjà présent. Si la fréquence est trop faible, la numérisation ne permettra pas de récupérer plus tard les détails manquants.

Où le traitement du signal est utilisé

Le traitement du signal apparaît partout où des mesures ou des ondes transportent de l’information. En physique et en ingénierie, cela inclut les microphones, les sismomètres, les récepteurs radio, les appareils d’ECG et d’EEG, les détecteurs optiques et les systèmes de contrôle.

Il est particulièrement utile lorsque le signal brut n’est pas directement lisible. Au lieu de fixer une forme d’onde compliquée, on utilise des transformées, des filtres et des règles d’échantillonnage pour la rendre interprétable.

Essayez un problème similaire de traitement du signal

Prenez un signal comme

$$x(t) = \sin(2\pi \cdot 5\, t) + 0.4\sin(2\pi \cdot 40\, t)$$

Puis posez-vous deux questions pratiques : quelle fréquence un filtre passe-bas chercherait-il à conserver, et quelle fréquence d’échantillonnage serait confortablement au-dessus de la limite de Nyquist pour le signal complet ? Une étape utile ensuite consiste à comparer cette idée avec les fonctions de transfert et à voir comment les systèmes façonnent les signaux dans le domaine fréquentiel.