Procesamiento de señales — transformada de Fourier, filtros y muestreo

El procesamiento de señales consiste en analizar o modificar una señal para extraer información útil de ella. Una señal puede ser un voltaje que cambia, una grabación de sonido, una vibración o luz medida por un detector. En la práctica, las preguntas principales son: ¿qué frecuencias están presentes?, ¿qué partes conviene conservar? y ¿a qué velocidad hay que muestrear para almacenar la señal digitalmente sin crear errores?

Tres ideas hacen casi todo el trabajo. La transformada de Fourier muestra el contenido en frecuencia. Los filtros conservan algunas partes de la señal y atenúan otras. El muestreo convierte una señal continua en datos digitales, pero solo si la frecuencia de muestreo es lo bastante alta para las frecuencias que necesitas.

Dominio temporal y dominio frecuencial

En el dominio temporal, observas cómo cambia la señal instante a instante. Esa visión es útil cuando importa el momento en que llega un pulso o cuando un sensor presenta un pico.

En el dominio frecuencial, observas la misma señal como una mezcla de componentes de frecuencia. Esa visión es útil cuando quieres separar una deriva lenta de una oscilación rápida, identificar un tono dominante o entender qué hará un filtro.

Las dos perspectivas describen la misma señal. Responden a preguntas distintas.

Qué te dice la transformada de Fourier

La transformada de Fourier reescribe una señal en términos de componentes sinusoidales. En lenguaje sencillo, pregunta cuánto hay de cada frecuencia.

Para una señal continua $x(t)$, la transformada se escribe como

$$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-i 2\pi f t}\,dt$$

No necesitas calcular esa integral a mano para usar bien la idea. La intuición principal es que una forma de onda complicada a menudo puede entenderse como una combinación de oscilaciones más simples.

Si la señal de un micrófono contiene un zumbido de $200\ \mathrm{Hz}$ y un tono de $2000\ \mathrm{Hz}$, la gráfica en el dominio temporal puede verse desordenada, pero la vista en el dominio frecuencial puede mostrar picos cerca de esas frecuencias. A menudo, esa es la forma más rápida de ver qué está ocurriendo realmente.

Cómo los filtros cambian una señal

Un filtro cambia con qué intensidad pasan distintas frecuencias a través de un sistema.

• Un filtro pasa-bajos conserva las frecuencias bajas y reduce las altas.
• Un filtro pasa-altos conserva las frecuencias altas y reduce las bajas.
• Un filtro pasa-banda conserva un intervalo seleccionado y reduce las frecuencias fuera de él.

Esa descripción depende de la frecuencia. No significa que el filtro sepa automáticamente qué es “ruido”. Un filtro solo ayuda si la parte que quieres eliminar está separada de la parte que quieres conservar en frecuencia, o en alguna otra propiedad para la que el filtro haya sido diseñado.

Por eso los filtros aparecen en la limpieza de audio, el suavizado de sensores, los sistemas de comunicación y los equipos de medida.

Por qué importa la frecuencia de muestreo

El muestreo es el proceso de registrar una señal de tiempo continuo en instantes discretos. Si la frecuencia más alta que necesitas preservar es $f_{\max}$, entonces la frecuencia de muestreo debe cumplir

$$f_s > 2f_{\max}$$

para evitar aliasing en el modelo ideal de muestreo. Este umbral, $2f_{\max}$, es la frecuencia de Nyquist.

El aliasing significa que contenido de frecuencia más alta puede hacerse pasar por una frecuencia más baja después del muestreo. Una vez que eso ocurre, los datos muestreados pueden apuntar a una señal equivocada.

En sistemas reales, los ingenieros suelen muestrear por encima del mínimo estricto y a menudo usan un filtro antialias antes de digitalizar. Ese margen extra importa porque las señales reales no están perfectamente limitadas en banda.

Ejemplo resuelto: eliminar ruido de alta frecuencia de un sensor

Supón que un sensor de temperatura debería cambiar lentamente, pero el voltaje medido incluye una ondulación eléctrica rápida. Un modelo simple es

$$x(t) = 2 + 0.3\sin(2\pi \cdot 1\, t) + 0.05\sin(2\pi \cdot 60\, t)$$

Aquí el término constante $2$ es el nivel de base, el término de $1\ \mathrm{Hz}$ es el cambio físico lento que te interesa y el término de $60\ \mathrm{Hz}$ es una interferencia no deseada.

Desde el punto de vista de la transformada de Fourier, la señal tiene energía en tres ubicaciones principales de frecuencia:

• $0\ \mathrm{Hz}$ por el desplazamiento constante
• $1\ \mathrm{Hz}$ por la variación lenta de temperatura
• $60\ \mathrm{Hz}$ por la interferencia

Si tu objetivo es conservar la tendencia lenta, un filtro pasa-bajos puede ayudar porque la parte útil está en baja frecuencia y la interferencia es mucho más alta. Una frecuencia de corte situada bastante por encima de $1\ \mathrm{Hz}$ pero bastante por debajo de $60\ \mathrm{Hz}$ reduciría la ondulación mientras deja casi intacto el cambio lento.

Ahora considera el muestreo. Si muestreas a $f_s = 20\ \mathrm{Hz}$, entonces la frecuencia de Nyquist es $10\ \mathrm{Hz}$. El componente de $60\ \mathrm{Hz}$ está por encima de ese límite, así que los datos muestreados no pueden representarlo correctamente a menos que se elimine antes del muestreo. En un cálculo ideal de aliasing, una sinusoide de $60\ \mathrm{Hz}$ muestreada a $20\ \mathrm{Hz}$ cae en puntos de muestreo que se repiten exactamente, así que incluso puede desaparecer de las muestras. Eso no significa que la interferencia original fuera inofensiva. Significa que el proceso de muestreo la ha ocultado de una forma engañosa.

Este ejemplo une las tres ideas:

• la transformada de Fourier te ayuda a identificar el componente no deseado
• el filtro lo elimina porque está en un intervalo de frecuencias separado
• la regla de muestreo te dice por qué el prefiltrado importa antes de digitalizar

Errores comunes en el procesamiento de señales

Tratar la transformada de Fourier como una imagen completa

Las mediciones reales son finitas, ruidosas y a menudo cambian con el tiempo. Una gráfica de frecuencia es útil, pero sigue siendo una interpretación de datos medidos, no una huella perfecta de la realidad.

Filtrar sin decir qué debe conservarse

Un filtro pasa-bajos reduce el ruido de alta frecuencia, pero también reduce cualquier señal real de alta frecuencia. Un filtro solo es “bueno” en relación con un objetivo claro.

Usar la frecuencia de Nyquist como objetivo de diseño cómodo

$f_s > 2f_{\max}$ es la condición mínima ideal. En la práctica, trabajar demasiado cerca de ese límite deja poco margen para filtros no ideales y para el contenido real de la señal.

Suponer que el muestreo crea información

El muestreo solo registra lo que ya está ahí. Si la frecuencia es demasiado baja, la digitalización no recupera después el detalle perdido.

Dónde se usa el procesamiento de señales

El procesamiento de señales aparece en cualquier lugar donde las mediciones o las ondas transportan información. En física e ingeniería, eso incluye micrófonos, sismómetros, receptores de radio, instrumentos de ECG y EEG, detectores ópticos y sistemas de control.

Es especialmente útil cuando la señal bruta no se puede leer directamente. En lugar de mirar una forma de onda complicada, usas transformadas, filtros y reglas de muestreo para convertirla en algo interpretable.

Prueba un problema similar de procesamiento de señales

Toma una señal como

$$x(t) = \sin(2\pi \cdot 5\, t) + 0.4\sin(2\pi \cdot 40\, t)$$

Luego plantea dos preguntas prácticas: ¿qué frecuencia intentaría conservar un filtro pasa-bajos? y ¿qué frecuencia de muestreo estaría cómodamente por encima del límite de Nyquist para la señal completa? Un siguiente paso útil es comparar esta idea con las funciones de transferencia y ver cómo los sistemas moldean las señales en el dominio frecuencial.