信号处理——傅里叶变换、滤波器与采样

信号处理是指对信号进行分析或改变，以便从中提取有用信息。信号可以是变化的电压、声音录音、振动，或由探测器测得的光。实际中，核心问题通常是：信号里有哪些频率、哪些部分应该保留，以及为了无误地数字存储信号，采样速度至少要多快？

其中最关键的三种思想承担了大部分工作。傅里叶变换用来显示频率成分。滤波器保留信号的某些部分并抑制其他部分。采样把连续信号变成数字数据，但前提是采样率对你关心的频率来说足够高。

时域与频域

在时域中，你观察信号如何随时间一刻一刻地变化。当时序很重要时，这种视角特别有用，比如脉冲何时到达，或者传感器何时出现尖峰。

在频域中，你把同一个信号看成由不同频率成分混合而成。当你想把缓慢漂移和快速振荡分开、识别主导音调，或理解滤波器会产生什么作用时，这种视角就很有用。

这两种视角描述的是同一个信号。它们回答的是不同的问题。

傅里叶变换告诉你什么

傅里叶变换把信号改写为若干正弦分量的形式。通俗地说，它是在问：每一种频率各占多少。

对于连续信号 $x(t)$，其变换写作

$$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-i 2\pi f t}\,dt$$

你不需要亲手去算这个积分，也能很好地使用这个思想。最重要的直觉是：复杂波形通常可以理解为若干更简单振荡的组合。

如果一个麦克风信号中同时含有 $200\ \mathrm{Hz}$ 的嗡声和 $2000\ \mathrm{Hz}$ 的音调，那么时域图像可能看起来很杂乱，但频域视图会在这些频率附近显示峰值。这通常是看清实际发生了什么的最快方法。

滤波器如何改变信号

滤波器会改变不同频率通过系统时的强弱程度。

• 低通滤波器保留较低频率，削弱较高频率。
• 高通滤波器保留较高频率，削弱较低频率。
• 带通滤波器保留选定的频率范围，削弱范围之外的频率。

这种描述是基于频率的。它并不意味着滤波器会自动知道什么是“噪声”。只有当你想去掉的部分与想保留的部分在频率上可分离，或在滤波器所利用的其他性质上可分离时，滤波器才真正有帮助。

这也是为什么滤波器会出现在音频清理、传感器平滑、通信系统和测量设备中。

为什么采样率很重要

采样是指在离散时刻记录连续时间信号的过程。如果你需要保留的最高频率是 $f_{\max}$，那么采样率必须满足

$$f_s > 2f_{\max}$$

在理想采样模型下，才能避免混叠。这个阈值 $2f_{\max}$ 就是奈奎斯特率。

混叠意味着较高频率的成分在采样后可能伪装成较低频率。一旦发生这种情况，采样数据就可能把你引向错误的信号判断。

在真实系统中，工程师通常会把采样率设在刚好最低要求之上很多，并且常常在数字化之前先使用抗混叠滤波器。之所以要留出余量，是因为真实信号并不是完美带限的。

示例：去除传感器中的高频噪声

假设一个温度传感器本应缓慢变化，但测得的电压中夹杂着快速的电学纹波。一个简单模型是

$$x(t) = 2 + 0.3\sin(2\pi \cdot 1\, t) + 0.05\sin(2\pi \cdot 60\, t)$$

这里常数项 $2$ 是基线水平，$1\ \mathrm{Hz}$ 项是你关心的缓慢物理变化，而 $60\ \mathrm{Hz}$ 项是不需要的干扰。

从傅里叶变换的角度看，这个信号在三个主要频率位置上有能量：

• 常数偏置对应的 $0\ \mathrm{Hz}$
• 缓慢温度变化对应的 $1\ \mathrm{Hz}$
• 干扰对应的 $60\ \mathrm{Hz}$

如果你的目标是保留缓慢趋势，那么低通滤波器会有帮助，因为有用部分位于低频，而干扰频率高得多。把截止频率设在明显高于 $1\ \mathrm{Hz}$、但又明显低于 $60\ \mathrm{Hz}$ 的位置，就能在大体保留缓慢变化的同时削弱纹波。

现在再考虑采样。如果你以 $f_s = 20\ \mathrm{Hz}$ 采样，那么奈奎斯特频率是 $10\ \mathrm{Hz}$。$60\ \mathrm{Hz}$ 分量高于这个限制，因此除非在采样前先把它去掉，否则采样数据无法正确表示它。在理想混叠计算中，一个以 $20\ \mathrm{Hz}$ 采样的 $60\ \mathrm{Hz}$ 正弦波会落在完全重复的采样点上，因此它甚至可能在样本中消失。这并不意味着原始干扰无害，而是说明采样过程以一种具有误导性的方式把它隐藏了起来。

这个例子把三个思想联系在了一起：

• 傅里叶变换帮助你识别不需要的成分
• 滤波器之所以能去掉它，是因为它位于不同的频率范围
• 采样规则告诉你，为什么在数字化之前进行预滤波很重要

信号处理中常见的错误

把傅里叶变换当成完整图景

真实测量是有限的、有噪声的，而且往往会随时间变化。频谱图很有用，但它仍然只是对测量数据的一种解释，而不是现实的完美指纹。

滤波时不先说明必须保留什么

低通滤波器会削弱高频噪声，但也会削弱任何真实存在的高频信号。滤波器是否“好”，只能相对于一个明确目标来判断。

把奈奎斯特率当成宽松的设计目标

$f_s > 2f_{\max}$ 只是理想情况下的最低条件。实际中，如果工作点太接近这个极限，就几乎没有空间去应对非理想滤波器和真实世界中的信号成分。

误以为采样会创造信息

采样只能记录原本就存在的内容。如果采样率太低，数字化并不能在之后把缺失的细节补回来。

信号处理用在哪里

凡是测量值或波动携带信息的地方，都会出现信号处理。在物理和工程中，这包括麦克风、地震仪、无线电接收机、ECG 和 EEG 仪器、光学探测器以及控制系统。

当原始信号无法直接读懂时，它尤其有用。与其盯着复杂波形发愣，不如利用变换、滤波和采样规则，把它变成可以解释的形式。

试着做一道类似的信号处理题

考虑这样一个信号

$$x(t) = \sin(2\pi \cdot 5\, t) + 0.4\sin(2\pi \cdot 40\, t)$$

然后问两个实际问题：低通滤波器会倾向于保留哪个频率？对于完整信号来说，什么样的采样率会明显高于奈奎斯特极限？一个很好的下一步，是把这个想法与传递函数进行比较，看看系统如何在频域中塑造信号。