การประมวลผลสัญญาณ — ฟูเรียร์ทรานส์ฟอร์ม ฟิลเตอร์ และการสุ่มตัวอย่าง

การประมวลผลสัญญาณหมายถึงการวิเคราะห์หรือเปลี่ยนแปลงสัญญาณเพื่อดึงข้อมูลที่เป็นประโยชน์ออกมา สัญญาณอาจเป็นแรงดันไฟฟ้าที่เปลี่ยนไป การบันทึกเสียง การสั่นสะเทือน หรือแสงที่ตรวจวัดโดยตัวตรวจจับ ในทางปฏิบัติ คำถามหลักมักเป็นว่า มีความถี่ใดอยู่บ้าง ควรเก็บส่วนใดไว้ และต้องสุ่มตัวอย่างเร็วแค่ไหนจึงจะเก็บสัญญาณในรูปดิจิทัลได้โดยไม่เกิดความผิดพลาด

แนวคิดหลักมีอยู่สามอย่างที่ใช้บ่อยที่สุด ฟูเรียร์ทรานส์ฟอร์มใช้แสดงองค์ประกอบความถี่ ฟิลเตอร์ใช้เก็บบางส่วนของสัญญาณและกดบางส่วนทิ้ง ส่วนการสุ่มตัวอย่างใช้เปลี่ยนสัญญาณต่อเนื่องให้เป็นข้อมูลดิจิทัล แต่จะทำได้ก็ต่อเมื่ออัตราการสุ่มตัวอย่างสูงพอสำหรับความถี่ที่คุณต้องการ

โดเมนเวลาและโดเมนความถี่

ในโดเมนเวลา คุณมองว่าสัญญาณเปลี่ยนไปอย่างไรในแต่ละขณะ มุมมองนี้มีประโยชน์เมื่อจังหวะเวลาสำคัญ เช่น เวลาที่พัลส์มาถึง หรือเวลาที่เซนเซอร์เกิดค่าสูงผิดปกติ

ในโดเมนความถี่ คุณมองสัญญาณเดียวกันว่าเป็นส่วนผสมขององค์ประกอบความถี่ต่าง ๆ มุมมองนี้มีประโยชน์เมื่อคุณต้องการแยกการลอยช้า ๆ ออกจากการสั่นเร็ว ระบุโทนเด่น หรือทำความเข้าใจว่าฟิลเตอร์จะส่งผลอย่างไร

ทั้งสองมุมมองอธิบายสัญญาณเดียวกัน เพียงแต่ตอบคำถามคนละแบบ

ฟูเรียร์ทรานส์ฟอร์มบอกอะไรได้บ้าง

ฟูเรียร์ทรานส์ฟอร์มเขียนสัญญาณใหม่ให้อยู่ในรูปขององค์ประกอบไซน์และโคไซน์ พูดง่าย ๆ คือมันถามว่าแต่ละความถี่มีอยู่ในสัญญาณมากแค่ไหน

สำหรับสัญญาณต่อเนื่อง $x(t)$ ทรานส์ฟอร์มเขียนได้เป็น

$$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-i 2\pi f t}\,dt$$

คุณไม่จำเป็นต้องคำนวณอินทิกรัลนี้ด้วยมือเพื่อใช้แนวคิดนี้ให้เป็นประโยชน์ สิ่งสำคัญคือรูปคลื่นที่ซับซ้อนมักเข้าใจได้ว่าเป็นการรวมกันของการสั่นที่ง่ายกว่า

ถ้าสัญญาณจากไมโครโฟนมีเสียงฮัมที่ $200\ \mathrm{Hz}$ และมีโทนที่ $2000\ \mathrm{Hz}$ กราฟในโดเมนเวลาอาจดูยุ่ง แต่ภาพในโดเมนความถี่จะแสดงยอดใกล้ความถี่เหล่านั้นได้ชัดเจน ซึ่งมักเป็นวิธีที่เร็วที่สุดในการดูว่าเกิดอะไรขึ้นจริง

ฟิลเตอร์เปลี่ยนสัญญาณอย่างไร

ฟิลเตอร์เปลี่ยนระดับที่ความถี่ต่าง ๆ สามารถผ่านระบบได้มากน้อยเพียงใด

• ฟิลเตอร์ผ่านต่ำเก็บความถี่ต่ำและลดความถี่สูง
• ฟิลเตอร์ผ่านสูงเก็บความถี่สูงและลดความถี่ต่ำ
• ฟิลเตอร์ผ่านย่านเก็บช่วงความถี่ที่เลือกไว้และลดความถี่นอกช่วงนั้น

คำอธิบายนี้ขึ้นอยู่กับความถี่ ไม่ได้หมายความว่าฟิลเตอร์รู้เองโดยอัตโนมัติว่าอะไรคือ “สัญญาณรบกวน” ฟิลเตอร์จะช่วยได้ก็ต่อเมื่อส่วนที่คุณต้องการตัดออกแยกจากส่วนที่ต้องการเก็บไว้ได้ในเชิงความถี่ หรือในสมบัติอื่นที่ฟิลเตอร์นั้นถูกออกแบบมาให้ใช้

นี่จึงเป็นเหตุผลที่ฟิลเตอร์ปรากฏอยู่ในงานทำความสะอาดเสียง การทำให้ข้อมูลจากเซนเซอร์เรียบขึ้น ระบบสื่อสาร และเครื่องมือวัด

ทำไมอัตราการสุ่มตัวอย่างจึงสำคัญ

การสุ่มตัวอย่างคือกระบวนการบันทึกสัญญาณเวลาต่อเนื่องที่ช่วงเวลาไม่ต่อเนื่อง หากความถี่สูงสุดที่คุณต้องการรักษาไว้คือ $f_{\max}$ อัตราการสุ่มตัวอย่างต้องเป็นไปตามเงื่อนไข

$$f_s > 2f_{\max}$$

เพื่อหลีกเลี่ยง aliasing ในภาพการสุ่มตัวอย่างแบบอุดมคติ ค่าขีดนี้ $2f_{\max}$ เรียกว่าอัตราไนควิสต์

Aliasing หมายถึงองค์ประกอบความถี่สูงอาจปลอมตัวเป็นความถี่ต่ำหลังการสุ่มตัวอย่าง เมื่อเกิดขึ้นแล้ว ข้อมูลที่สุ่มมาอาจชี้ไปยังสัญญาณที่ผิดจากความเป็นจริง

ในระบบจริง วิศวกรมักสุ่มตัวอย่างสูงกว่าค่าต่ำสุด และมักใช้ฟิลเตอร์กัน alias ก่อนแปลงเป็นดิจิทัลด้วย ระยะเผื่อนี้สำคัญเพราะสัญญาณจริงไม่ได้ถูกจำกัดย่านความถี่อย่างสมบูรณ์แบบ

ตัวอย่างคำนวณ: กำจัดสัญญาณรบกวนความถี่สูงจากเซนเซอร์

สมมติว่าเซนเซอร์อุณหภูมิควรเปลี่ยนช้า ๆ แต่แรงดันไฟฟ้าที่วัดได้มีริปเปิลทางไฟฟ้าที่เปลี่ยนเร็วปนอยู่ แบบจำลองอย่างง่ายคือ

$$x(t) = 2 + 0.3\sin(2\pi \cdot 1\, t) + 0.05\sin(2\pi \cdot 60\, t)$$

ในที่นี้ พจน์คงที่ $2$ คือระดับฐาน พจน์ $1\ \mathrm{Hz}$ คือการเปลี่ยนแปลงทางกายภาพช้า ๆ ที่คุณสนใจ และพจน์ $60\ \mathrm{Hz}$ คือสัญญาณรบกวนที่ไม่ต้องการ

ในมุมมองของฟูเรียร์ทรานส์ฟอร์ม สัญญาณนี้มีพลังงานอยู่ที่ตำแหน่งความถี่หลักสามตำแหน่ง:

• $0\ \mathrm{Hz}$ จากออฟเซ็ตคงที่
• $1\ \mathrm{Hz}$ จากการเปลี่ยนแปลงอุณหภูมิอย่างช้า
• $60\ \mathrm{Hz}$ จากสัญญาณรบกวน

ถ้าเป้าหมายของคุณคือเก็บแนวโน้มที่เปลี่ยนช้า ฟิลเตอร์ผ่านต่ำจะช่วยได้ เพราะส่วนที่มีประโยชน์อยู่ที่ความถี่ต่ำ ส่วนสัญญาณรบกวนอยู่สูงกว่ามาก การเลือกความถี่ตัดที่สูงกว่า $1\ \mathrm{Hz}$ พอสมควร แต่ต่ำกว่า $60\ \mathrm{Hz}$ มาก จะช่วยลดริปเปิลโดยยังคงการเปลี่ยนแปลงช้าไว้ได้เกือบทั้งหมด

ตอนนี้ลองพิจารณาการสุ่มตัวอย่าง หากคุณสุ่มที่ $f_s = 20\ \mathrm{Hz}$ อัตราไนควิสต์จะเท่ากับ $10\ \mathrm{Hz}$ องค์ประกอบ $60\ \mathrm{Hz}$ สูงเกินขีดนั้น ดังนั้นข้อมูลที่สุ่มมาไม่สามารถแทนมันได้อย่างถูกต้อง เว้นแต่จะกำจัดมันออกก่อนการสุ่ม ในการคำนวณ aliasing แบบอุดมคติ ไซน์ $60\ \mathrm{Hz}$ ที่ถูกสุ่มที่ $20\ \mathrm{Hz}$ จะตกลงบนจุดตัวอย่างที่ซ้ำเดิมพอดี จนดูเหมือนมันหายไปจากข้อมูลตัวอย่างได้ นั่นไม่ได้แปลว่าสัญญาณรบกวนเดิมไม่มีอันตราย แต่แปลว่ากระบวนการสุ่มตัวอย่างได้ซ่อนมันไว้ในรูปแบบที่ทำให้เข้าใจผิด

ตัวอย่างนี้เชื่อมแนวคิดทั้งสามเข้าด้วยกัน:

• ฟูเรียร์ทรานส์ฟอร์มช่วยให้คุณระบุองค์ประกอบที่ไม่ต้องการ
• ฟิลเตอร์กำจัดมันได้เพราะมันอยู่ในช่วงความถี่ที่แยกจากกัน
• กฎการสุ่มตัวอย่างบอกว่าทำไมการกรองก่อนแปลงเป็นดิจิทัลจึงสำคัญ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในการประมวลผลสัญญาณ

มองว่าฟูเรียร์ทรานส์ฟอร์มคือภาพที่สมบูรณ์ทั้งหมด

การวัดจริงมีช่วงเวลาจำกัด มีสัญญาณรบกวน และมักเปลี่ยนไปตามเวลา กราฟความถี่มีประโยชน์ แต่ก็ยังเป็นเพียงการตีความข้อมูลที่วัดได้ ไม่ใช่ลายนิ้วมือที่สมบูรณ์แบบของความจริง

กรองสัญญาณโดยไม่ระบุว่าต้องรักษาอะไรไว้

ฟิลเตอร์ผ่านต่ำช่วยลดสัญญาณรบกวนความถี่สูง แต่ก็ลดสัญญาณจริงที่มีความถี่สูงด้วย ฟิลเตอร์จะ “ดี” หรือไม่ จึงขึ้นอยู่กับเป้าหมายที่ชัดเจน

ใช้อัตราไนควิสต์เป็นเป้าหมายการออกแบบที่สบายใจเกินไป

$f_s > 2f_{\max}$ เป็นเงื่อนไขต่ำสุดในอุดมคติ ในทางปฏิบัติ หากทำงานใกล้ขีดนี้เกินไป จะเหลือพื้นที่น้อยมากสำหรับฟิลเตอร์ที่ไม่อุดมคติและองค์ประกอบของสัญญาณจริง

คิดว่าการสุ่มตัวอย่างสร้างข้อมูลใหม่ได้

การสุ่มตัวอย่างเพียงบันทึกสิ่งที่มีอยู่แล้วเท่านั้น หากอัตราต่ำเกินไป การแปลงเป็นดิจิทัลจะไม่สามารถกู้รายละเอียดที่หายไปกลับมาได้ในภายหลัง

การประมวลผลสัญญาณถูกใช้ที่ไหนบ้าง

การประมวลผลสัญญาณพบได้ทุกที่ที่การวัดหรือคลื่นทำหน้าที่บรรทุกข้อมูล ในฟิสิกส์และวิศวกรรมศาสตร์ นั่นรวมถึงไมโครโฟน เครื่องวัดแผ่นดินไหว เครื่องรับวิทยุ เครื่อง ECG และ EEG ตัวตรวจจับเชิงแสง และระบบควบคุม

มันมีประโยชน์เป็นพิเศษเมื่อสัญญาณดิบไม่สามารถอ่านความหมายได้โดยตรง แทนที่จะจ้องดูรูปคลื่นที่ซับซ้อน คุณใช้ทรานส์ฟอร์ม ฟิลเตอร์ และกฎการสุ่มตัวอย่างเพื่อเปลี่ยนมันให้เป็นสิ่งที่ตีความได้

ลองทำโจทย์การประมวลผลสัญญาณที่คล้ายกัน

พิจารณาสัญญาณอย่าง

$$x(t) = \sin(2\pi \cdot 5\, t) + 0.4\sin(2\pi \cdot 40\, t)$$

จากนั้นถามคำถามเชิงปฏิบัติสองข้อ: ฟิลเตอร์ผ่านต่ำจะพยายามเก็บความถี่ใดไว้ และอัตราการสุ่มตัวอย่างเท่าใดจึงจะสูงกว่าขีดไนควิสต์ของสัญญาณทั้งหมดอย่างสบาย ๆ ขั้นต่อไปที่มีประโยชน์คือเปรียบเทียบแนวคิดนี้กับ ฟังก์ชันถ่ายโอน และดูว่าระบบต่าง ๆ ปรับรูปร่างสัญญาณในโดเมนความถี่อย่างไร