Pemrosesan Sinyal — Transformasi Fourier, Filter & Sampling

Pemrosesan sinyal berarti menganalisis atau mengubah suatu sinyal agar Anda bisa mengambil informasi yang berguna darinya. Sinyal bisa berupa tegangan yang berubah, rekaman suara, getaran, atau cahaya yang diukur oleh detektor. Dalam praktiknya, pertanyaan utamanya adalah: frekuensi apa saja yang ada, bagian mana yang harus dipertahankan, dan seberapa cepat Anda harus melakukan sampling agar sinyal dapat disimpan secara digital tanpa menimbulkan kesalahan?

Tiga gagasan melakukan sebagian besar pekerjaan. Transformasi Fourier menunjukkan kandungan frekuensi. Filter mempertahankan sebagian komponen sinyal dan menekan yang lain. Sampling mengubah sinyal kontinu menjadi data digital, tetapi hanya jika laju sampling cukup tinggi untuk frekuensi yang Anda perlukan.

Domain waktu dan domain frekuensi

Dalam domain waktu, Anda melihat bagaimana sinyal berubah dari saat ke saat. Sudut pandang ini berguna ketika waktu kejadian penting, misalnya saat sebuah pulsa datang atau ketika sensor menunjukkan lonjakan.

Dalam domain frekuensi, Anda melihat sinyal yang sama sebagai campuran komponen-komponen frekuensi. Sudut pandang ini berguna ketika Anda ingin memisahkan drift lambat dari osilasi cepat, mengidentifikasi nada dominan, atau memahami apa yang akan dilakukan sebuah filter.

Kedua sudut pandang itu menggambarkan sinyal yang sama. Keduanya menjawab pertanyaan yang berbeda.

Apa yang diberitahukan transformasi Fourier

Transformasi Fourier menuliskan ulang suatu sinyal dalam bentuk komponen sinusoidal. Dalam bahasa sederhana, transformasi ini menanyakan seberapa besar kontribusi tiap frekuensi yang ada.

Untuk sinyal kontinu $x(t)$, transformasinya ditulis sebagai

$$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-i 2\pi f t}\,dt$$

Anda tidak perlu menghitung integral itu secara manual untuk menggunakan idenya dengan baik. Intuisi utamanya adalah bahwa bentuk gelombang yang rumit sering kali dapat dipahami sebagai gabungan osilasi-osilasi yang lebih sederhana.

Jika sinyal mikrofon mengandung dengung $200\ \mathrm{Hz}$ dan nada $2000\ \mathrm{Hz}$, grafik domain waktu mungkin terlihat berantakan, tetapi tampilan domain frekuensi dapat menunjukkan puncak di dekat frekuensi-frekuensi tersebut. Itu sering menjadi cara tercepat untuk melihat apa yang sebenarnya sedang terjadi.

Bagaimana filter mengubah sinyal

Filter mengubah seberapa kuat frekuensi yang berbeda dapat melewati suatu sistem.

• Filter low-pass mempertahankan frekuensi rendah dan mengurangi frekuensi tinggi.
• Filter high-pass mempertahankan frekuensi tinggi dan mengurangi frekuensi rendah.
• Filter band-pass mempertahankan rentang tertentu dan mengurangi frekuensi di luar rentang itu.

Deskripsi itu bergantung pada frekuensi. Itu tidak berarti filter secara otomatis tahu mana yang merupakan "noise". Filter hanya membantu jika bagian yang ingin Anda hilangkan terpisah dari bagian yang ingin Anda pertahankan dalam frekuensi, atau dalam sifat lain yang memang dirancang untuk digunakan oleh filter tersebut.

Inilah sebabnya filter muncul dalam pembersihan audio, penghalusan sinyal sensor, sistem komunikasi, dan peralatan pengukuran.

Mengapa laju sampling penting

Sampling adalah proses merekam sinyal waktu-kontinu pada waktu-waktu diskret. Jika frekuensi tertinggi yang perlu Anda pertahankan adalah $f_{\max}$, maka laju sampling harus memenuhi

$$f_s > 2f_{\max}$$

agar menghindari aliasing dalam gambaran sampling ideal. Ambang ini, $2f_{\max}$, adalah laju Nyquist.

Aliasing berarti kandungan frekuensi yang lebih tinggi dapat tampak sebagai frekuensi yang lebih rendah setelah sampling. Setelah itu terjadi, data hasil sampling dapat mengarah pada sinyal yang salah.

Dalam sistem nyata, para insinyur biasanya melakukan sampling di atas batas minimum dan sering menggunakan filter anti-alias sebelum digitalisasi. Margin tambahan ini penting karena sinyal nyata tidak benar-benar terbatas pita secara sempurna.

Contoh kerja: menghilangkan noise frekuensi tinggi dari sensor

Misalkan sebuah sensor suhu seharusnya berubah secara lambat, tetapi tegangan yang diukur mengandung riak listrik yang cepat. Model sederhananya adalah

$$x(t) = 2 + 0.3\sin(2\pi \cdot 1\, t) + 0.05\sin(2\pi \cdot 60\, t)$$

Di sini suku konstan $2$ adalah level dasar, suku $1\ \mathrm{Hz}$ adalah perubahan fisik lambat yang Anda pedulikan, dan suku $60\ \mathrm{Hz}$ adalah gangguan yang tidak diinginkan.

Sudut pandang transformasi Fourier mengatakan bahwa sinyal memiliki energi pada tiga lokasi frekuensi utama:

• $0\ \mathrm{Hz}$ dari offset konstan
• $1\ \mathrm{Hz}$ dari variasi suhu yang lambat
• $60\ \mathrm{Hz}$ dari gangguan

Jika tujuan Anda adalah mempertahankan tren lambat, filter low-pass dapat membantu karena bagian yang berguna berada pada frekuensi rendah dan gangguannya jauh lebih tinggi. Frekuensi cutoff di suatu nilai yang cukup di atas $1\ \mathrm{Hz}$ tetapi jauh di bawah $60\ \mathrm{Hz}$ akan mengurangi riak sambil tetap menjaga perubahan lambat sebagian besar tetap utuh.

Sekarang pertimbangkan sampling. Jika Anda melakukan sampling pada $f_s = 20\ \mathrm{Hz}$, maka laju Nyquist adalah $10\ \mathrm{Hz}$. Komponen $60\ \mathrm{Hz}$ berada di atas batas itu, sehingga data hasil sampling tidak dapat merepresentasikannya dengan benar kecuali komponen tersebut dihilangkan sebelum sampling. Dalam perhitungan aliasing ideal, sinusoid $60\ \mathrm{Hz}$ yang di-sampling pada $20\ \mathrm{Hz}$ jatuh pada titik-titik sampel yang berulang persis, sehingga bahkan bisa menghilang dari sampel. Itu tidak berarti gangguan aslinya tidak berbahaya. Itu berarti proses sampling telah menyembunyikannya dengan cara yang menyesatkan.

Contoh ini menghubungkan ketiga gagasan tersebut:

• transformasi Fourier membantu Anda mengidentifikasi komponen yang tidak diinginkan
• filter menghilangkannya karena komponen itu berada pada rentang frekuensi yang terpisah
• aturan sampling memberi tahu Anda mengapa pra-pemfilteran penting sebelum digitalisasi

Kesalahan umum dalam pemrosesan sinyal

Menganggap transformasi Fourier sebagai gambaran yang lengkap

Pengukuran nyata bersifat terbatas, berisik, dan sering berubah terhadap waktu. Grafik frekuensi memang berguna, tetapi tetap merupakan interpretasi dari data terukur, bukan sidik jari sempurna dari kenyataan.

Memfilter tanpa menyatakan apa yang harus dipertahankan

Filter low-pass mengurangi noise frekuensi tinggi, tetapi juga mengurangi sinyal frekuensi tinggi yang memang nyata. Sebuah filter hanya "baik" jika dinilai terhadap tujuan yang jelas.

Menggunakan laju Nyquist sebagai target desain yang nyaman

$f_s > 2f_{\max}$ adalah syarat minimum ideal. Dalam praktiknya, bekerja terlalu dekat dengan batas itu menyisakan sedikit ruang untuk filter yang tidak ideal dan kandungan sinyal dunia nyata.

Menganggap sampling menciptakan informasi

Sampling hanya merekam apa yang sudah ada. Jika lajunya terlalu rendah, digitalisasi tidak akan memulihkan detail yang hilang di kemudian hari.

Di mana pemrosesan sinyal digunakan

Pemrosesan sinyal muncul di mana pun pengukuran atau gelombang membawa informasi. Dalam fisika dan teknik, ini mencakup mikrofon, seismometer, penerima radio, instrumen ECG dan EEG, detektor optik, serta sistem kendali.

Pemrosesan sinyal sangat berguna ketika sinyal mentah tidak bisa langsung dibaca. Alih-alih menatap bentuk gelombang yang rumit, Anda menggunakan transformasi, filter, dan aturan sampling untuk mengubahnya menjadi sesuatu yang dapat ditafsirkan.

Coba soal pemrosesan sinyal yang serupa

Ambil sinyal seperti

$$x(t) = \sin(2\pi \cdot 5\, t) + 0.4\sin(2\pi \cdot 40\, t)$$

Lalu ajukan dua pertanyaan praktis: frekuensi mana yang akan coba dipertahankan oleh filter low-pass, dan laju sampling berapa yang akan cukup aman di atas batas Nyquist untuk sinyal penuh? Langkah berikutnya yang berguna adalah membandingkan ide ini dengan transfer functions dan melihat bagaimana sistem membentuk sinyal dalam domain frekuensi.