신호 처리 — 푸리에 변환, 필터와 샘플링

신호 처리는 신호를 분석하거나 변화시켜 그 안에서 유용한 정보를 뽑아내는 것을 뜻합니다. 신호는 시간에 따라 변하는 전압, 녹음된 소리, 진동, 또는 검출기로 측정한 빛일 수 있습니다. 실제로는 어떤 주파수들이 들어 있는지, 어떤 부분을 남겨야 하는지, 그리고 디지털로 저장할 때 오류 없이 담으려면 얼마나 빠르게 샘플링해야 하는지가 핵심 질문입니다.

이 작업의 중심에는 세 가지 개념이 있습니다. 푸리에 변환은 주파수 성분을 보여 줍니다. 필터는 신호의 일부는 통과시키고 다른 일부는 억제합니다. 샘플링은 연속 신호를 디지털 데이터로 바꾸지만, 필요한 주파수를 담을 만큼 샘플링 속도가 충분히 높아야 합니다.

시간 영역과 주파수 영역

시간 영역에서는 신호가 순간순간 어떻게 변하는지를 봅니다. 이 관점은 펄스가 언제 도착하는지, 센서 출력이 언제 급격히 튀는지처럼 타이밍이 중요할 때 유용합니다.

주파수 영역에서는 같은 신호를 여러 주파수 성분이 섞인 것으로 봅니다. 이 관점은 느린 드리프트와 빠른 진동을 분리하거나, 지배적인 톤을 찾거나, 필터가 어떤 영향을 줄지 이해하고 싶을 때 유용합니다.

두 관점은 같은 신호를 설명합니다. 다만 답해 주는 질문이 다릅니다.

푸리에 변환이 알려 주는 것

푸리에 변환은 신호를 사인파 성분들의 합으로 다시 표현합니다. 쉽게 말해, 각 주파수가 얼마나 들어 있는지를 묻는 방법입니다.

연속 신호 $x(t)$에 대해 변환은 다음과 같이 씁니다.

$$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-i 2\pi f t}\,dt$$

이 아이디어를 잘 활용하려면 이 적분을 손으로 직접 계산할 필요는 없습니다. 핵심 직관은 복잡한 파형도 더 단순한 진동들의 조합으로 이해할 수 있는 경우가 많다는 점입니다.

예를 들어 마이크 신호에 $200\ \mathrm{Hz}$의 험과 $2000\ \mathrm{Hz}$의 톤이 함께 들어 있다면, 시간 영역 그래프는 복잡해 보일 수 있습니다. 하지만 주파수 영역에서는 그 주파수 근처에 뚜렷한 피크가 나타날 수 있습니다. 실제로 무슨 일이 일어나는지 가장 빠르게 파악하는 방법이 이런 경우가 많습니다.

필터가 신호를 바꾸는 방식

필터는 서로 다른 주파수가 시스템을 얼마나 잘 통과하는지를 바꿉니다.

• 저역통과 필터는 낮은 주파수는 통과시키고 높은 주파수는 줄입니다.
• 고역통과 필터는 높은 주파수는 통과시키고 낮은 주파수는 줄입니다.
• 대역통과 필터는 선택한 범위의 주파수는 통과시키고 그 밖의 주파수는 줄입니다.

이 설명은 주파수에 따라 달라지는 특성을 말합니다. 그렇다고 해서 필터가 무엇이 "잡음"인지 자동으로 알아내는 것은 아닙니다. 제거하려는 부분이 남기려는 부분과 주파수나, 또는 필터가 활용하도록 설계된 다른 성질에서 분리되어 있을 때만 필터가 도움이 됩니다.

그래서 필터는 오디오 정리, 센서 평활화, 통신 시스템, 측정 장비 등에서 널리 쓰입니다.

샘플링 속도가 중요한 이유

샘플링은 연속 시간 신호를 이산적인 시각들에서 기록하는 과정입니다. 보존해야 하는 최고 주파수가 $f_{\max}$라면, 샘플링 속도는 다음 조건을 만족해야 합니다.

$$f_s > 2f_{\max}$$

이상적인 샘플링 모델에서 에일리어싱을 피하려면 이 조건이 필요합니다. 이 임계값 $2f_{\max}$를 나이퀴스트 속도라고 합니다.

에일리어싱이란 높은 주파수 성분이 샘플링 후 더 낮은 주파수처럼 보이는 현상입니다. 한 번 이런 일이 생기면, 샘플링된 데이터는 실제와 다른 신호를 가리킬 수 있습니다.

실제 시스템에서는 엔지니어들이 보통 최소 조건보다 더 높은 속도로 샘플링하고, 디지털화 전에 안티에일리어싱 필터를 쓰는 경우도 많습니다. 실제 신호는 완전히 대역 제한되어 있지 않기 때문에 이런 여유가 중요합니다.

예제: 센서에서 고주파 잡음 제거하기

온도 센서는 천천히 변해야 하는데, 측정된 전압에 빠른 전기적 리플이 섞여 있다고 가정해 봅시다. 간단한 모델은 다음과 같습니다.

$$x(t) = 2 + 0.3\sin(2\pi \cdot 1\, t) + 0.05\sin(2\pi \cdot 60\, t)$$

여기서 상수항 $2$는 기준 수준이고, $1\ \mathrm{Hz}$ 항은 우리가 관심 있는 느린 물리적 변화이며, $60\ \mathrm{Hz}$ 항은 원치 않는 간섭입니다.

푸리에 변환 관점에서 보면 이 신호는 세 개의 주요 주파수 위치에 에너지를 가집니다.

• 상수 오프셋에서 오는 $0\ \mathrm{Hz}$
• 느린 온도 변화에서 오는 $1\ \mathrm{Hz}$
• 간섭에서 오는 $60\ \mathrm{Hz}$

목표가 느린 추세를 남기는 것이라면, 유용한 성분은 낮은 주파수에 있고 간섭은 훨씬 높은 주파수에 있으므로 저역통과 필터가 도움이 됩니다. 차단 주파수를 $1\ \mathrm{Hz}$보다 충분히 높고 $60\ \mathrm{Hz}$보다 충분히 낮은 곳에 두면, 느린 변화는 대부분 유지하면서 리플은 줄일 수 있습니다.

이제 샘플링을 생각해 봅시다. $f_s = 20\ \mathrm{Hz}$로 샘플링하면 나이퀴스트 속도는 $10\ \mathrm{Hz}$입니다. $60\ \mathrm{Hz}$ 성분은 이 한계를 넘기 때문에, 샘플링 전에 제거하지 않으면 샘플링된 데이터가 이를 올바르게 표현할 수 없습니다. 이상적인 에일리어싱 계산에서는 $20\ \mathrm{Hz}$로 샘플링한 $60\ \mathrm{Hz}$ 사인파가 정확히 반복되는 샘플 지점에 놓여, 샘플에서는 아예 사라질 수도 있습니다. 그렇다고 원래의 간섭이 무해했다는 뜻은 아닙니다. 샘플링 과정이 그것을 오해를 부르는 방식으로 숨긴 것뿐입니다.

이 예제는 세 가지 개념을 하나로 묶어 줍니다.

• 푸리에 변환은 원치 않는 성분을 찾아내는 데 도움을 줍니다.
• 필터는 그 성분이 다른 주파수 대역에 있으므로 제거할 수 있습니다.
• 샘플링 규칙은 디지털화 전에 왜 사전 필터링이 중요한지 알려 줍니다.

신호 처리에서 흔한 실수

푸리에 변환을 완전한 그림으로 여기는 것

실제 측정 데이터는 유한하고, 잡음이 있으며, 시간에 따라 변하는 경우가 많습니다. 주파수 그래프는 유용하지만, 그것도 측정 데이터를 해석한 결과이지 현실의 완벽한 지문은 아닙니다.

무엇을 보존해야 하는지 밝히지 않고 필터링하는 것

저역통과 필터는 고주파 잡음을 줄이지만, 실제의 고주파 신호도 함께 줄입니다. 필터가 "좋다"는 평가는 분명한 목표가 있을 때만 의미가 있습니다.

나이퀴스트 속도를 여유 있는 설계 목표로 여기는 것

$f_s > 2f_{\max}$는 이상적인 최소 조건입니다. 실제로는 이 한계에 너무 가깝게 설계하면 비이상적인 필터 특성과 현실 신호 성분을 감당할 여유가 거의 없습니다.

샘플링이 정보를 만들어 낸다고 가정하는 것

샘플링은 이미 존재하는 것을 기록할 뿐입니다. 샘플링 속도가 너무 낮으면, 디지털화 이후에 부족한 세부 정보를 되살릴 수 없습니다.

신호 처리가 사용되는 곳

신호 처리는 측정값이나 파동이 정보를 담고 있는 거의 모든 곳에 등장합니다. 물리학과 공학에서는 마이크, 지진계, 무선 수신기, ECG와 EEG 장비, 광 검출기, 제어 시스템 등이 여기에 포함됩니다.

특히 원시 신호를 바로 읽기 어려울 때 매우 유용합니다. 복잡한 파형을 그대로 바라보는 대신, 변환, 필터, 샘플링 규칙을 이용해 해석 가능한 형태로 바꾸는 것입니다.

비슷한 신호 처리 문제를 직접 해보기

다음과 같은 신호를 생각해 보세요.

$$x(t) = \sin(2\pi \cdot 5\, t) + 0.4\sin(2\pi \cdot 40\, t)$$

그다음 두 가지 실용적인 질문을 해 보세요. 저역통과 필터는 어느 주파수를 남기려 할까요? 그리고 전체 신호에 대해 나이퀴스트 한계보다 충분히 높은 샘플링 속도는 얼마일까요? 다음 단계로는 이 아이디어를 전달 함수와 비교해 보고, 시스템이 주파수 영역에서 신호를 어떻게 바꾸는지 살펴보는 것도 좋습니다.