Développement de Taylor

Un développement de Taylor est une approximation polynomiale d’une fonction au voisinage d’un point choisi. Il utilise les dérivées de la fonction en ce point, de sorte qu’il reproduit la valeur, la pente et parfois le comportement d’ordre supérieur à cet endroit. En général, l’approximation n’est utile qu’à proximité du centre.

Si $f$ admet suffisamment de dérivées au voisinage de $x=a$, le polynôme de Taylor en $a$ suit ce schéma :

$$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots$$

S’arrêter après un nombre fini de termes donne un polynôme de Taylor. Laisser le schéma se poursuivre indéfiniment donne une série de Taylor. Ces deux idées sont étroitement liées, mais ce ne sont pas le même objet.

Ce que le développement de Taylor reproduit au centre

Chaque terme est choisi pour que le polynôme coïncide avec la fonction en $x=a$.

• $f(a)$ reproduit la valeur de la fonction.
• $f'(a)$ reproduit la pente.
• $f''(a)$ aide à reproduire la courbure.

C’est pourquoi un développement de Taylor est plus qu’une formule à mémoriser. C’est un polynôme conçu pour imiter localement la fonction.

Quand une approximation de Taylor fonctionne bien

Le développement de Taylor est surtout utile lorsque trois conditions sont réunies :

1. La fonction admet les dérivées nécessaires au centre.
2. Vous n’avez besoin de valeurs de $x$ que près de ce centre.
3. Un polynôme est plus facile à calculer ou à analyser que la fonction d’origine.

En pratique, la deuxième condition est la plus importante. Même pour des fonctions familières comme $e^x$, $\sin x$ et $\cos x$, un polynôme de Taylor de faible degré est généralement bien meilleur près du centre que loin de celui-ci.

Exemple détaillé : approximer $e^{0.2}$

Utilisons un développement de Maclaurin, ce qui signifie que le centre est $a=0$.

Pour $f(x)=e^x$, toutes les dérivées sont encore égales à $e^x$. En $x=0$ :

$$f(0) = 1, \quad f'(0) = 1, \quad f''(0) = 1$$

Donc le polynôme de Taylor de degré 2 est

$$e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2}$$

Remplaçons maintenant $x$ par $0.2$ :

$$e^{0.2} \approx 1 + 0.2 + \frac{(0.2)^2}{2}$$ $$= 1 + 0.2 + \frac{0.04}{2} = 1.22$$

La valeur réelle est d’environ $1.2214$, donc l’approximation est déjà proche.

Pourquoi cela fonctionne-t-il ? Parce que $0.2$ est proche du centre $0$. Le même polynôme court serait en général moins précis beaucoup plus loin.

Le développement de Maclaurin est le cas $a=0$

Lorsque le centre est $a=0$, le développement de Taylor devient

$$f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots$$

Ce cas particulier s’appelle un développement de Maclaurin. Il apparaît souvent parce que beaucoup de fonctions sont faciles à dériver et à évaluer en $0$.

Erreurs fréquentes avec le développement de Taylor

Confondre un polynôme avec une série

Un développement de Taylor fini est une approximation polynomiale. La série de Taylor infinie est un objet différent. On confond souvent les deux termes, mais la distinction est importante lorsqu’on parle de convergence.

Utiliser l’approximation trop loin du centre

Le développement est construit autour de $a$. Si $x$ est loin de $a$, une approximation de faible degré peut ne plus être fiable.

Oublier la factorielle

Le coefficient de $(x-a)^n$ est $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$, et non simplement $f^{(n)}(a)$. Oublier la factorielle modifie tous les termes d’ordre supérieur.

Supposer que toute fonction régulière est égale à sa série de Taylor

Le fait d’avoir des dérivées ne suffit pas, à lui seul, à garantir que la série de Taylor complète est égale à la fonction partout dans un voisinage. Un développement fini doit être considéré comme une approximation, sauf si l’énoncé donne un résultat plus fort.

Où le développement de Taylor est utilisé

Les étudiants rencontrent généralement le développement de Taylor lorsqu’ils ont besoin de :

1. Estimer la valeur d’une fonction à l’aide d’un polynôme court.
2. Simplifier une expression compliquée près d’un point d’équilibre.
3. Étudier le comportement local en calcul différentiel, en équations différentielles ou en physique.
4. Comparer à quel point la précision s’améliore lorsqu’on ajoute davantage de termes.

Essayez un problème similaire

Construisez le développement de Taylor de degré 2 de $\sin x$ en $a=0$, puis utilisez-le pour approximer $\sin(0.1)$. Si vous voulez une suite utile, comparez cette approximation finie à une série de Taylor.