テイラー展開

テイラー展開は、ある1つの点の近くで関数を多項式で近似する方法です。その点での導関数を使うので、関数の値、傾き、さらに高次のふるまいまで一致するように作れます。通常、この近似が役に立つのは中心の近くに限られます。

$f$ が $x=a$ の近くで十分な回数だけ微分可能なら、$a$ を中心とするテイラー多項式は次の形で作られます。

$$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots$$

有限個の項で止めたものがテイラー多項式です。このパターンを無限に続けたものがテイラー級数です。両者は密接に関係していますが、同じものではありません。

テイラー展開が中心で一致させるもの

各項は、多項式が $x=a$ で元の関数と一致するように選ばれています。

• $f(a)$ は関数の値を一致させます。
• $f'(a)$ は傾きを一致させます。
• $f''(a)$ は曲がり方を一致させるのに役立ちます。

だからテイラー展開は、ただ暗記する公式ではありません。関数をその近くでまねるように設計された多項式なのです。

テイラー近似がうまく働くとき

テイラー展開が特に有用なのは、次の3つの条件がそろうときです。

1. 関数が中心で必要な導関数をもっている。
2. 必要なのが、その中心に近い $x$ の値だけである。
3. 元の関数より多項式のほうが計算や解析をしやすい。

実際には、2つ目の条件が特に重要です。$e^x$、$\sin x$、$\cos x$ のようなよく知られた関数でも、低次のテイラー多項式は、中心から遠いところより近いところでずっとよい近似になります。

例題: $e^{0.2}$ を近似する

マクローリン展開を使います。つまり中心は $a=0$ です。

$f(x)=e^x$ では、どの導関数もやはり $e^x$ です。$x=0$ では

$$f(0) = 1, \quad f'(0) = 1, \quad f''(0) = 1$$

したがって、2次のテイラー多項式は

$$e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2}$$

となります。ここで $x=0.2$ を代入すると

$$e^{0.2} \approx 1 + 0.2 + \frac{(0.2)^2}{2}$$ $$= 1 + 0.2 + \frac{0.04}{2} = 1.22$$

実際の値は約 $1.2214$ なので、この近似はすでにかなり近いです。

なぜこれでうまくいくのでしょうか。$0.2$ が中心 $0$ に近いからです。同じ短い多項式でも、もっと遠い点では普通これほど正確ではありません。

マクローリン展開は $a=0$ の場合

中心が $a=0$ のとき、テイラー展開は

$$f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots$$

となります。この特別な場合をマクローリン展開といいます。多くの関数では $0$ での微分や値の計算がしやすいため、よく登場します。

テイラー展開でよくあるミス

多項式と級数を混同する

有限のテイラー展開は多項式近似です。無限のテイラー級数は別の対象です。両者はしばしば曖昧に使われますが、収束を考えるときにはこの違いが重要です。

中心から離れすぎたところで近似を使う

展開は $a$ のまわりで作られています。$x$ が $a$ から遠いと、低次の近似は信頼できなくなることがあります。

階乗を落としてしまう

$(x-a)^n$ の係数は $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$ であって、単に $f^{(n)}(a)$ ではありません。階乗を落とすと、高次の項がすべて変わってしまいます。

なめらかな関数は必ずテイラー級数と一致すると考える

導関数があることだけでは、完全なテイラー級数が近くのすべての点で元の関数に一致するとは限りません。有限の展開は、問題文でより強い結果が与えられていない限り、近似として扱うべきです。

テイラー展開はどこで使われるか

学生がテイラー展開に出会うのは、たいてい次のような場面です。

1. 短い多項式で関数の値を見積もる。
2. 平衡点の近くで複雑な式を簡単にする。
3. 微積分、微分方程式、物理で局所的なふるまいを調べる。
4. 項を増やすと精度がどれだけ良くなるかを比べる。

似た問題に挑戦してみよう

$a=0$ における $\sin x$ の2次のテイラー展開を作り、それを使って $\sin(0.1)$ を近似してみましょう。次の一歩として役立つのは、この有限近似を完全な Taylor series と比べることです。