Sviluppo di Taylor

Uno sviluppo di Taylor è un’approssimazione polinomiale di una funzione vicino a un punto scelto. Usa le derivate della funzione in quel punto, quindi ne riproduce il valore, la pendenza e talvolta anche il comportamento di ordine superiore. Di solito l’approssimazione è utile solo vicino al centro.

Se $f$ ha abbastanza derivate vicino a $x=a$, il polinomio di Taylor centrato in $a$ si costruisce seguendo questo schema:

$$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots$$

Fermarsi dopo un numero finito di termini dà un polinomio di Taylor. Lasciare che lo schema continui all’infinito dà una serie di Taylor. Le due idee sono strettamente collegate, ma non sono la stessa cosa.

Che cosa lo sviluppo di Taylor riproduce nel centro

Ogni termine è scelto in modo che il polinomio coincida con la funzione in $x=a$.

• $f(a)$ riproduce il valore della funzione.
• $f'(a)$ riproduce la pendenza.
• $f''(a)$ aiuta a riprodurre la curvatura.

Per questo lo sviluppo di Taylor è più di una formula da ricordare a memoria. È un polinomio progettato per imitare localmente la funzione.

Quando un’approssimazione di Taylor funziona bene

Lo sviluppo di Taylor è più utile quando si verificano tre condizioni:

1. La funzione ha le derivate necessarie nel centro.
2. Ti servono solo valori di $x$ vicini a quel centro.
3. Un polinomio è più facile da calcolare o analizzare della funzione originale.

La seconda condizione è quella che conta di più nella pratica. Anche per funzioni note come $e^x$, $\sin x$ e $\cos x$, un polinomio di Taylor di basso grado è di solito molto migliore vicino al centro che lontano da esso.

Esempio svolto: approssimare $e^{0.2}$

Usa uno sviluppo di Maclaurin, cioè con centro $a=0$.

Per $f(x)=e^x$, ogni derivata è ancora $e^x$. In $x=0$:

$$f(0) = 1, \quad f'(0) = 1, \quad f''(0) = 1$$

Quindi il polinomio di Taylor di secondo grado è

$$e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2}$$

Ora sostituisci $x=0.2$:

$$e^{0.2} \approx 1 + 0.2 + \frac{(0.2)^2}{2}$$ $$= 1 + 0.2 + \frac{0.04}{2} = 1.22$$

Il valore reale è circa $1.2214$, quindi l’approssimazione è già vicina.

Perché funziona? Perché $0.2$ è vicino al centro $0$. Lo stesso polinomio breve di solito sarebbe meno accurato molto più lontano.

Lo sviluppo di Maclaurin è il caso $a=0$

Quando il centro è $a=0$, lo sviluppo di Taylor diventa

$$f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots$$

Questo caso particolare si chiama sviluppo di Maclaurin. Compare spesso perché molte funzioni sono facili da derivare e da valutare in $0$.

Errori comuni nello sviluppo di Taylor

Confondere un polinomio con una serie

Uno sviluppo di Taylor finito è un’approssimazione polinomiale. La serie di Taylor infinita è un oggetto diverso. Spesso i termini vengono confusi, ma la distinzione conta quando si parla di convergenza.

Usare l’approssimazione troppo lontano dal centro

Lo sviluppo è costruito attorno ad $a$. Se $x$ è lontano da $a$, un’approssimazione di basso grado potrebbe non essere più affidabile.

Dimenticare il fattoriale

Il coefficiente di $(x-a)^n$ è $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$, non semplicemente $f^{(n)}(a)$. Dimenticare il fattoriale cambia ogni termine di ordine superiore.

Supporre che ogni funzione regolare coincida con la sua serie di Taylor

Avere derivate non basta, da solo, a garantire che la serie di Taylor completa coincida con la funzione in tutti i punti vicini. Uno sviluppo finito va trattato come un’approssimazione, a meno che il problema non fornisca un risultato più forte.

Dove si usa lo sviluppo di Taylor

Di solito gli studenti incontrano lo sviluppo di Taylor quando devono:

1. Stimare il valore di una funzione con un polinomio breve.
2. Semplificare un’espressione complicata vicino a un punto di equilibrio.
3. Studiare il comportamento locale in analisi, equazioni differenziali o fisica.
4. Confrontare quanto migliora l’accuratezza quando si aggiungono più termini.

Prova un esercizio simile

Costruisci lo sviluppo di Taylor di secondo grado di $\sin x$ in $a=0$, poi usalo per approssimare $\sin(0.1)$. Se vuoi un passo successivo utile, confronta questa approssimazione finita con una serie di Taylor.