การขยายเทย์เลอร์

การขยายเทย์เลอร์คือการประมาณค่าฟังก์ชันด้วยพหุนามใกล้จุดที่เลือกไว้จุดหนึ่ง โดยใช้อาศัยอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดนั้น จึงทำให้พหุนามสอดคล้องกับค่า ความชัน และบางครั้งรวมถึงพฤติกรรมอันดับสูงกว่าที่จุดนั้นด้วย โดยทั่วไปค่าประมาณนี้จะใช้ได้ดีเฉพาะใกล้จุดศูนย์กลาง

ถ้า $f$ มีอนุพันธ์มากพอในบริเวณใกล้ $x=a$ พหุนามเทย์เลอร์รอบจุด $a$ จะสร้างตามรูปแบบนี้:

$$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots$$

ถ้าหยุดที่จำนวนพจน์จำกัด จะได้พหุนามเทย์เลอร์ แต่ถ้าปล่อยให้รูปแบบนี้ดำเนินต่อไปไม่สิ้นสุด จะได้อนุกรมเทย์เลอร์ แนวคิดทั้งสองเกี่ยวข้องกันอย่างใกล้ชิด แต่ไม่ใช่สิ่งเดียวกัน

การขยายเทย์เลอร์ทำให้ตรงกับอะไรที่จุดศูนย์กลาง

แต่ละพจน์ถูกเลือกเพื่อให้พหุนามสอดคล้องกับฟังก์ชันที่ $x=a$

• $f(a)$ ทำให้ตรงกับค่าของฟังก์ชัน
• $f'(a)$ ทำให้ตรงกับความชัน
• $f''(a)$ ช่วยให้ตรงกับความโค้ง

นี่จึงเป็นเหตุผลว่าทำไมการขยายเทย์เลอร์จึงไม่ใช่แค่สูตรที่ต้องท่องจำ แต่เป็นพหุนามที่ถูกออกแบบมาเพื่อเลียนแบบฟังก์ชันในบริเวณใกล้เคียง

เมื่อไรการประมาณแบบเทย์เลอร์จึงใช้ได้ดี

การขยายเทย์เลอร์จะมีประโยชน์มากที่สุดเมื่อมีเงื่อนไข 3 ข้อตรงกัน:

1. ฟังก์ชันมีอนุพันธ์ที่ต้องใช้ ณ จุดศูนย์กลาง
2. คุณต้องการค่าเฉพาะของ $x$ ที่อยู่ใกล้จุดศูนย์กลางนั้น
3. พหุนามคำนวณหรือวิเคราะห์ได้ง่ายกว่าฟังก์ชันเดิม

ในทางปฏิบัติ ข้อที่สองสำคัญที่สุด แม้สำหรับฟังก์ชันที่คุ้นเคยอย่าง $e^x$, $\sin x$, และ $\cos x$ พหุนามเทย์เลอร์ดีกรีต่ำก็มักให้ค่าประมาณที่ดีกว่ามากเมื่ออยู่ใกล้จุดศูนย์กลาง มากกว่าตอนอยู่ไกลออกไป

ตัวอย่าง: ประมาณค่า $e^{0.2}$

ใช้การขยายแมคโลริน ซึ่งหมายความว่าจุดศูนย์กลางคือ $a=0$

สำหรับ $f(x)=e^x$ อนุพันธ์ทุกอันดับยังคงเป็น $e^x$ ที่ $x=0$:

$$f(0) = 1, \quad f'(0) = 1, \quad f''(0) = 1$$

ดังนั้นพหุนามเทย์เลอร์ดีกรีสองคือ

$$e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2}$$

ตอนนี้แทน $x=0.2$:

$$e^{0.2} \approx 1 + 0.2 + \frac{(0.2)^2}{2}$$ $$= 1 + 0.2 + \frac{0.04}{2} = 1.22$$

ค่าจริงประมาณ $1.2214$ ดังนั้นค่าประมาณนี้ใกล้เคียงมากแล้ว

ทำไมวิธีนี้จึงใช้ได้? เพราะ $0.2$ อยู่ใกล้จุดศูนย์กลาง $0$ พหุนามสั้น ๆ ตัวเดิมนี้มักจะให้ความแม่นยำน้อยลงมากเมื่ออยู่ไกลออกไป

การขยายแมคโลรินคือกรณีที่ $a=0$

เมื่อจุดศูนย์กลางคือ $a=0$ การขยายเทย์เลอร์จะกลายเป็น

$$f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots$$

กรณีพิเศษนี้เรียกว่าการขยายแมคโลริน ซึ่งพบได้บ่อย เพราะหลายฟังก์ชันหาอนุพันธ์และคำนวณค่าที่ $0$ ได้ง่าย

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในการขยายเทย์เลอร์

สับสนระหว่างพหุนามกับอนุกรม

การขยายเทย์เลอร์แบบมีจำนวนพจน์จำกัดคือพหุนามประมาณค่า ส่วนอนุกรมเทย์เลอร์แบบอนันต์เป็นอีกสิ่งหนึ่ง คนมักใช้คำสองคำนี้ปะปนกัน แต่ความแตกต่างนี้สำคัญเมื่อพูดถึงการลู่เข้า

ใช้ค่าประมาณไกลจากจุดศูนย์กลางเกินไป

การขยายถูกสร้างรอบจุด $a$ ถ้า $x$ อยู่ไกลจาก $a$ ค่าประมาณดีกรีต่ำอาจไม่น่าเชื่อถืออีกต่อไป

ลืมแฟกทอเรียล

สัมประสิทธิ์ของ $(x-a)^n$ คือ $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$ ไม่ใช่แค่ $f^{(n)}(a)$ การลืมแฟกทอเรียลจะทำให้พจน์อันดับสูงทุกพจน์ผิดไป

คิดว่าฟังก์ชันที่เรียบทุกตัวเท่ากับอนุกรมเทย์เลอร์ของมัน

การมีอนุพันธ์ไม่ได้เพียงพอในตัวเองที่จะรับประกันว่าอนุกรมเทย์เลอร์เต็มรูปแบบจะเท่ากับฟังก์ชันในทุกจุดใกล้เคียง การขยายแบบมีจำนวนพจน์จำกัดควรถูกมองว่าเป็นค่าประมาณ เว้นแต่โจทย์จะให้ผลที่แรงกว่านั้น

การขยายเทย์เลอร์ใช้ที่ไหน

นักเรียนมักพบการขยายเทย์เลอร์เมื่อจำเป็นต้อง:

1. ประมาณค่าฟังก์ชันด้วยพหุนามสั้น ๆ
2. ทำให้นิพจน์ที่ซับซ้อนง่ายขึ้นใกล้จุดสมดุล
3. ศึกษาพฤติกรรมเฉพาะที่ในแคลคูลัส สมการเชิงอนุพันธ์ หรือฟิสิกส์
4. เปรียบเทียบว่าความแม่นยำดีขึ้นแค่ไหนเมื่อเพิ่มจำนวนพจน์

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

สร้างการขยายเทย์เลอร์ดีกรีสองของ $\sin x$ ที่ $a=0$ แล้วใช้มันประมาณค่า $\sin(0.1)$ ถ้าคุณอยากต่อยอด ลองเปรียบเทียบค่าประมาณแบบมีจำนวนพจน์จำกัดนี้กับ อนุกรมเทย์เลอร์ แบบเต็ม