Taylorentwicklung

Eine Taylorentwicklung ist eine Polynomapproximation einer Funktion in der Nähe eines gewählten Punkts. Sie verwendet die Ableitungen der Funktion an diesem Punkt und stimmt dort deshalb mit dem Funktionswert, der Steigung und manchmal auch mit höherem Verhalten überein. Die Approximation ist meist nur in der Nähe der Entwicklungsstelle nützlich.

Wenn $f$ in der Nähe von $x=a$ genügend Ableitungen besitzt, wird das Taylorpolynom um $a$ nach diesem Muster aufgebaut:

$$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots$$

Wenn man nach endlich vielen Termen stoppt, erhält man ein Taylorpolynom. Lässt man das Muster unendlich weiterlaufen, erhält man eine Taylorreihe. Diese Ideen sind eng verwandt, aber sie sind nicht dasselbe.

Was die Taylorentwicklung an der Entwicklungsstelle trifft

Jeder Term wird so gewählt, dass das Polynom bei $x=a$ mit der Funktion übereinstimmt.

• $f(a)$ trifft den Funktionswert.
• $f'(a)$ trifft die Steigung.
• $f''(a)$ hilft, die Krümmung zu treffen.

Deshalb ist eine Taylorentwicklung mehr als nur eine auswendig gelernte Formel. Sie ist ein Polynom, das die Funktion lokal nachbilden soll.

Wann eine Taylorapproximation gut funktioniert

Eine Taylorentwicklung ist besonders nützlich, wenn drei Bedingungen zusammenkommen:

1. Die Funktion besitzt an der Entwicklungsstelle die benötigten Ableitungen.
2. Du brauchst nur Werte von $x$ in der Nähe dieser Stelle.
3. Ein Polynom ist leichter zu berechnen oder zu analysieren als die ursprüngliche Funktion.

Die zweite Bedingung ist in der Praxis am wichtigsten. Selbst bei bekannten Funktionen wie $e^x$, $\sin x$ und $\cos x$ ist ein Taylorpolynom niedrigen Grades in der Nähe der Entwicklungsstelle meist viel besser als weiter davon entfernt.

Durchgerechnetes Beispiel: Approximiere $e^{0.2}$

Verwende eine Maclaurin-Entwicklung, das heißt, die Entwicklungsstelle ist $a=0$.

Für $f(x)=e^x$ ist jede Ableitung wieder $e^x$. Bei $x=0$ gilt:

$$f(0) = 1, \quad f'(0) = 1, \quad f''(0) = 1$$

Also ist das Taylorpolynom zweiten Grades

$$e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2}$$

Setze nun $x=0.2$ ein:

$$e^{0.2} \approx 1 + 0.2 + \frac{(0.2)^2}{2}$$ $$= 1 + 0.2 + \frac{0.04}{2} = 1.22$$

Der tatsächliche Wert ist etwa $1.2214$, also ist die Approximation schon ziemlich nah dran.

Warum funktioniert das? Weil $0.2$ nahe an der Entwicklungsstelle $0$ liegt. Dasselbe kurze Polynom wäre in größerer Entfernung normalerweise deutlich ungenauer.

Die Maclaurin-Entwicklung ist der Fall $a=0$

Wenn die Entwicklungsstelle $a=0$ ist, wird die Taylorentwicklung zu

$$f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots$$

Dieser Spezialfall heißt Maclaurin-Entwicklung. Er kommt oft vor, weil sich viele Funktionen bei $0$ leicht ableiten und auswerten lassen.

Häufige Fehler bei der Taylorentwicklung

Ein Polynom mit einer Reihe verwechseln

Eine endliche Taylorentwicklung ist eine Polynomapproximation. Die unendliche Taylorreihe ist etwas anderes. Die Begriffe werden oft vermischt, aber der Unterschied ist wichtig, wenn man über Konvergenz spricht.

Die Approximation zu weit von der Entwicklungsstelle entfernt verwenden

Die Entwicklung ist um $a$ herum aufgebaut. Wenn $x$ weit von $a$ entfernt ist, kann eine Approximation niedrigen Grades unzuverlässig werden.

Das Fakultätszeichen weglassen

Der Koeffizient von $(x-a)^n$ ist $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$ und nicht einfach $f^{(n)}(a)$. Fehlt die Fakultät, verändert das jeden Term höherer Ordnung.

Annehmen, dass jede glatte Funktion ihrer Taylorreihe entspricht

Dass Ableitungen existieren, reicht allein nicht aus, um zu garantieren, dass die vollständige Taylorreihe überall in der Nähe mit der Funktion übereinstimmt. Eine endliche Entwicklung sollte als Approximation behandelt werden, sofern die Aufgabe kein stärkeres Ergebnis liefert.

Wo Taylorentwicklungen verwendet werden

Schülerinnen und Schüler sowie Studierende begegnen Taylorentwicklungen meist, wenn sie:

1. einen Funktionswert mit einem kurzen Polynom abschätzen wollen,
2. einen komplizierten Ausdruck in der Nähe eines Gleichgewichtspunkts vereinfachen wollen,
3. lokales Verhalten in der Analysis, bei Differentialgleichungen oder in der Physik untersuchen,
4. vergleichen wollen, wie stark sich die Genauigkeit verbessert, wenn mehr Terme hinzukommen.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Bestimme die Taylorentwicklung zweiten Grades von $\sin x$ an der Stelle $a=0$ und verwende sie dann, um $\sin(0.1)$ zu approximieren. Als sinnvoller nächster Schritt kannst du diese endliche Approximation mit einer vollständigen Taylorreihe vergleichen.