테일러 전개

테일러 전개는 한 점 근처에서 함수를 다항식으로 근사하는 방법입니다. 그 점에서의 도함수를 사용하므로 함수값, 기울기, 그리고 경우에 따라 더 높은 차수의 거동까지 맞추게 됩니다. 이 근사는 보통 중심점 근처에서만 유용합니다.

$f$가 $x=a$ 근처에서 충분히 많은 도함수를 가지면, $a$를 중심으로 한 테일러 다항식은 다음과 같은 패턴으로 만들어집니다.

$$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots$$

유한한 개수의 항에서 멈추면 테일러 다항식이 됩니다. 이 패턴을 무한히 계속하면 테일러 급수가 됩니다. 두 개념은 밀접하게 관련되어 있지만 같은 대상은 아닙니다.

중심에서 테일러 전개가 맞추는 것

각 항은 다항식이 $x=a$에서 함수와 일치하도록 선택됩니다.

• $f(a)$는 함수값을 맞춥니다.
• $f'(a)$는 기울기를 맞춥니다.
• $f''(a)$는 곡률을 맞추는 데 도움을 줍니다.

그래서 테일러 전개는 단순히 외워 쓰는 공식이 아닙니다. 함수의 국소적인 거동을 흉내 내도록 설계된 다항식입니다.

테일러 근사가 잘 작동하는 경우

테일러 전개는 다음 세 조건이 맞아떨어질 때 가장 유용합니다.

1. 함수가 중심점에서 필요한 도함수들을 가져야 합니다.
2. 중심점 근처의 $x$ 값만 필요합니다.
3. 원래 함수보다 다항식이 계산하거나 분석하기 더 쉽습니다.

실제로는 두 번째 조건이 가장 중요합니다. $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ 같은 익숙한 함수도 낮은 차수의 테일러 다항식은 중심에서 가까울수록 훨씬 잘 맞고, 멀어질수록 정확도가 떨어지는 경우가 많습니다.

예제: $e^{0.2}$ 근사하기

중심이 $a=0$인 매클로린 전개를 사용합니다.

$f(x)=e^x$이면 모든 도함수도 여전히 $e^x$입니다. $x=0$에서

$$f(0) = 1, \quad f'(0) = 1, \quad f''(0) = 1$$

따라서 2차 테일러 다항식은

$$e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2}$$

이제 $x=0.2$를 대입하면

$$e^{0.2} \approx 1 + 0.2 + \frac{(0.2)^2}{2}$$ $$= 1 + 0.2 + \frac{0.04}{2} = 1.22$$

실제 값은 약 $1.2214$이므로 이미 꽤 가까운 근사입니다.

왜 이것이 잘 작동할까요? $0.2$가 중심 $0$에 가깝기 때문입니다. 같은 짧은 다항식이라도 훨씬 더 멀리 떨어진 점에서는 보통 정확도가 낮아집니다.

매클로린 전개는 $a=0$인 경우

중심이 $a=0$이면 테일러 전개는 다음과 같이 됩니다.

$$f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots$$

이 특수한 경우를 매클로린 전개라고 합니다. 많은 함수가 $0$에서 미분하고 값을 계산하기 쉬워서 자주 등장합니다.

테일러 전개에서 자주 하는 실수

다항식과 급수를 혼동하기

유한한 테일러 전개는 다항식 근사입니다. 무한한 테일러 급수는 다른 대상입니다. 사람들이 두 용어를 자주 섞어 쓰지만, 수렴을 이야기할 때는 이 구분이 중요합니다.

중심에서 너무 멀리 떨어진 곳에 근사를 사용하기

전개는 $a$를 중심으로 만들어집니다. $x$가 $a$에서 멀면 낮은 차수의 근사는 더 이상 믿을 만하지 않을 수 있습니다.

팩토리얼을 빠뜨리기

$(x-a)^n$의 계수는 $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$이지 단순히 $f^{(n)}(a)$가 아닙니다. 팩토리얼을 빼먹으면 모든 고차항이 달라집니다.

모든 매끄러운 함수가 자신의 테일러 급수와 같다고 가정하기

도함수가 존재한다는 사실만으로는 전체 테일러 급수가 근처 모든 점에서 원래 함수와 같아진다고 보장할 수 없습니다. 문제에서 더 강한 결과를 주지 않는다면, 유한한 전개는 근사로 다루어야 합니다.

테일러 전개는 어디에 쓰이나요

학생들은 보통 다음과 같은 상황에서 테일러 전개를 배웁니다.

1. 짧은 다항식으로 함수값을 추정할 때
2. 평형점 근처에서 복잡한 식을 단순화할 때
3. 미적분, 미분방정식, 물리에서 국소적 거동을 연구할 때
4. 항을 더 추가할수록 정확도가 얼마나 좋아지는지 비교할 때

비슷한 문제를 풀어 보세요

$a=0$에서 $\sin x$의 2차 테일러 전개를 만든 뒤, 그것을 사용해 $\sin(0.1)$을 근사해 보세요. 다음 단계로 유익한 비교를 해 보고 싶다면, 이 유한한 근사를 전체 테일러 급수와 비교해 보세요.