Radicaux — simplifier, additionner et rationaliser

Les radicaux sont des expressions avec racine qui restent irrationnelles après simplification. Des exemples typiques sont $\sqrt{2}$ et $3\sqrt{5}$. Pour travailler avec des radicaux, il faut d’abord simplifier, ne combiner que les radicaux semblables, puis rationaliser le dénominateur lorsqu’une racine y reste.

Les radicaux sont importants parce qu’ils conservent des valeurs exactes. Par exemple, $\sqrt{2}$ est plus précis qu’une valeur décimale arrondie comme $1.414$.

Ce qu’est un radical

Si une racine se simplifie en un nombre rationnel, on ne la considère généralement pas comme un radical. Par exemple,

$$\sqrt{9} = 3$$

donc $\sqrt{9}$ n’est pas un radical une fois simplifié.

Mais

$$\sqrt{2}$$

ne se simplifie pas en un nombre rationnel, donc c’est un radical.

La même idée s’applique à des expressions comme $2\sqrt{3}$, $\sqrt{7}$ ou $5\sqrt{11}$. Ce sont des expressions radicales exactes dont les valeurs simplifiées restent irrationnelles.

Comment simplifier des radicaux

Pour simplifier un radical, cherchez un facteur carré parfait sous la racine.

Par exemple,

$$\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36}\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$$

Le but est de faire sortir les carrés parfaits du radical et de ne laisser à l’intérieur que la partie qui n’est pas un carré parfait.

Si le nombre sous la racine n’a aucun facteur carré parfait supérieur à $1$, alors le radical est déjà simplifié.

Comment additionner et soustraire des radicaux

On peut additionner ou soustraire des radicaux seulement s’ils sont semblables, c’est-à-dire si leurs parties radicales simplifiées sont identiques.

Par exemple,

$$2\sqrt{8} + \sqrt{18}$$

ne peut pas être combiné immédiatement. Il faut d’abord simplifier chaque radical :

$$2\sqrt{8} = 2 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$$

et

$$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$

Les deux termes ont maintenant la même partie radicale, donc

$$4\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 7\sqrt{2}$$

Voici l’idée essentielle : on simplifie d’abord, puis on combine les coefficients si la partie radicale est la même.

Exemple détaillé : simplifier, additionner, puis rationaliser

Simplifier

$$\frac{2\sqrt{8} + \sqrt{18}}{\sqrt{3}}$$

Commencez par simplifier le numérateur :

$$2\sqrt{8} = 4\sqrt{2}$$

et

$$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$

La fraction devient donc

$$\frac{4\sqrt{2} + 3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$

Rationalisez maintenant le dénominateur en multipliant le numérateur et le dénominateur par $\sqrt{3}$ :

$$\frac{7\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{6}}{3}$$

Le résultat simplifié est donc

$$\frac{7\sqrt{6}}{3}$$

Cet exemple montre toute la méthode : simplifier chaque radical, combiner les radicaux semblables, puis rationaliser le dénominateur.

Comment rationaliser le dénominateur

Rationaliser un dénominateur consiste à enlever les racines au bas d’une fraction sans en changer la valeur.

Si le dénominateur est un seul radical, multipliez le numérateur et le dénominateur par ce radical. Par exemple,

$$\frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$$

Si le dénominateur a deux termes, comme $a + \sqrt{b}$, utilisez le conjugué $a - \sqrt{b}$. Cela fonctionne parce que

$$(a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b}) = a^2 - b$$

et $a^2 - b$ ne contient plus de terme radical.

Erreurs fréquentes avec les radicaux

Additionner avant de simplifier

$\sqrt{8}$ et $\sqrt{18}$ ne semblent pas immédiatement être des radicaux semblables, mais après simplification ils deviennent $2\sqrt{2}$ et $3\sqrt{2}$. Si vous sautez l’étape de simplification, vous risquez souvent de manquer une combinaison simple.

Combiner des radicaux non semblables

En général,

$$\sqrt{2} + \sqrt{3} \ne \sqrt{5}$$

On ne peut combiner les coefficients que lorsque les parties radicales simplifiées sont identiques.

Séparer une racine sur une addition

En général,

$$\sqrt{a + b} \ne \sqrt{a} + \sqrt{b}$$

Par exemple, $\sqrt{4 + 5} = \sqrt{9} = 3$, mais $\sqrt{4} + \sqrt{5} = 2 + \sqrt{5}$, ce qui n’est pas égal à $3$.

Simplifier des radicaux à tort

Dans

$$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$

on ne peut pas simplifier les racines carrées, car les nombres à l’intérieur sont différents. Il faut simplifier correctement ou rationaliser le dénominateur.

Quand utilise-t-on les radicaux

Les radicaux apparaissent chaque fois que des valeurs exactes font intervenir des racines qui ne sont pas des carrés parfaits. On les rencontre souvent en géométrie, dans le théorème de Pythagore, les équations du second degré, la trigonométrie et la simplification algébrique.

Ils sont particulièrement utiles lorsque la forme exacte est plus importante qu’une approximation décimale. Par exemple, un carré de côté $3$ a pour diagonale $3\sqrt{2}$, et pas seulement une valeur décimale approchée.

Liste de vérification rapide pour les exercices sur les radicaux

Quand vous travaillez avec des radicaux, demandez-vous :

1. Ai-je d’abord simplifié chaque radical ?
2. Les radicaux sont-ils vraiment des termes semblables avant de les additionner ou de les soustraire ?
3. S’il y a une fraction, le dénominateur contient-il encore une racine ?
4. Est-ce que je garde la réponse exacte sauf si l’exercice demande une valeur décimale ?

Ces quatre vérifications évitent la plupart des erreurs courantes.

Essayez un exercice similaire

Essayez de simplifier

$$\frac{\sqrt{50} + \sqrt{8}}{\sqrt{2}}$$

Travaillez dans le même ordre : simplifiez chaque radical, combinez les termes semblables, puis vérifiez s’il faut encore rationaliser. Si vous utilisez un solveur pas à pas, comparez chaque étape algébrique plutôt que seulement la réponse finale.