Tests de convergence des séries — rapport, racine, comparaison et plus

Les tests de convergence des séries permettent de décider si une série infinie converge ou diverge. L’essentiel n’est pas de mémoriser chaque test séparément. Il faut surtout apprendre quel test correspond à la forme des termes.

Si vous cherchez une méthode rapide pour choisir, commencez ici :

1. Vérifiez si $a_n \to 0$. Si ce n’est pas le cas, la série diverge.
2. Cherchez d’abord une forme connue, en particulier une série géométrique ou une $p$-série.
3. Utilisez la comparaison pour des termes positifs qui ressemblent à une référence familière.
4. Utilisez le test du rapport ou de la racine quand des factorielles, des exponentielles ou des puissances dominent.
5. Utilisez le test des séries alternées seulement si les signes alternent et que la taille des termes décroît vers $0$.

Ce que disent les tests de convergence des séries

Pour une série

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n,$$

la convergence signifie que les sommes partielles tendent vers une limite finie. La divergence signifie qu’elles n’y tendent pas.

Un test de convergence ne calcule généralement pas la somme. Il indique si une somme finie existe. Cette distinction est importante, car l’objectif est souvent de classer la série, pas de l’évaluer.

Commencer par le critère de divergence

Avant de choisir un test plus sophistiqué, regardez les termes eux-mêmes.

Si

$$\lim_{n \to \infty} a_n \ne 0,$$

alors

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$$

doit diverger.

On appelle parfois cela le critère de divergence, ou critère du terme général. C’est un test à sens unique : si $a_n \to 0$, cela ne garantit pas la convergence.

Par exemple,

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$$

diverge quand même, même si $\frac{1}{n} \to 0$.

Comment choisir le bon test de convergence

Reconnaître d’abord les séries géométriques et les $p$-séries

Ce sont les premiers modèles à identifier.

Une série géométrique

$$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$$

converge lorsque $|r| < 1$ et diverge lorsque $|r| \ge 1$.

Une $p$-série

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$$

converge lorsque $p > 1$ et diverge lorsque $p \le 1$.

Si votre série ressemble à l’une de celles-ci, cela suggère souvent l’étape suivante.

Utiliser le test de comparaison pour des termes positifs

Utilisez le test de comparaison pour les séries à termes positifs. L’idée est intuitive : si vos termes ne sont pas plus grands que ceux d’une série convergente connue, alors votre série converge aussi. Si vos termes sont au moins aussi grands que ceux d’une série divergente connue, alors votre série diverge aussi.

Ce test repose sur des inégalités, donc il est surtout utile quand on peut comparer les termes proprement.

Utiliser la comparaison par limite quand le comportement dominant est le même

Utilisez la comparaison par limite quand les inégalités directes sont peu pratiques, mais que deux séries à termes positifs ont le même comportement dominant.

Si

$$a_n > 0, \qquad b_n > 0,$$

et

$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = c$$

pour une constante finie $c > 0$, alors $\sum a_n$ et $\sum b_n$ convergent toutes deux ou divergent toutes deux.

C’est souvent le choix le plus simple pour des expressions rationnelles en $n$.

Utiliser le test du rapport pour les factorielles et les exponentielles

Utilisez le test du rapport quand des factorielles ou des facteurs exponentiels apparaissent.

Pour

$$\sum a_n,$$

considérez

$$L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|.$$

Alors :

1. Si $L < 1$, la série converge absolument.
2. Si $L > 1$ ou $L = \infty$, la série diverge.
3. Si $L = 1$, le test est non concluant.

Ce dernier cas est important. Une limite égale à $1$ ne signifie pas, à elle seule, convergence ou divergence.

Utiliser le test de la racine quand une puissance $n$-ième est intégrée à l’expression

Utilisez le test de la racine quand la racine $n$-ième est naturelle à calculer, en particulier pour des termes du type $(\cdots)^n$.

Calculez

$$L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}.$$

Les conclusions sont les mêmes que pour le test du rapport :

1. Si $L < 1$, la série converge absolument.
2. Si $L > 1$, la série diverge.
3. Si $L = 1$, le test est non concluant.

Utiliser le test des séries alternées seulement si ses conditions sont vérifiées

Utilisez-le lorsque les signes alternent, généralement sous une forme comme

$$\sum (-1)^n b_n \quad \text{ou} \quad \sum (-1)^{n+1} b_n,$$

avec $b_n \ge 0$.

Si $b_n$ décroît à partir d’un certain rang et si $b_n \to 0$, alors la série converge.

Ce test montre la convergence, mais pas nécessairement la convergence absolue. Cette différence correspond à l’écart entre convergence conditionnelle et convergence absolue.

Utiliser le test intégral quand la série provient d’une fonction

Utilisez le test intégral quand la série provient d’une fonction positive, continue et décroissante $f(x)$ telle que $f(n) = a_n$ pour $n$ assez grand.

Alors

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$$

et

$$\int_1^{\infty} f(x)\,dx$$

convergent toutes deux ou divergent toutes deux.

C’est particulièrement utile pour les termes faisant intervenir des logarithmes ou des puissances, mais seulement si les conditions requises sont satisfaites.

Exemple détaillé : test du rapport sur $\sum \frac{n}{2^n}$

Considérons

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}.$$

Les termes contiennent un facteur exponentiel $2^n$, donc le test du rapport est un choix naturel.

Posons

$$a_n = \frac{n}{2^n}.$$

Alors

$$\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{(n+1)/2^{n+1}}{n/2^n} = \frac{n+1}{2n}.$$

Prenons maintenant la limite :

$$\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2}.$$

Comme $\frac{1}{2} < 1$, la série converge absolument.

L’idée essentielle ici est le choix du test. Le terme exponentiel $2^n$ simplifie proprement le rapport, donc le test du rapport donne une réponse rapide avec peu de calculs.

Erreurs fréquentes avec les tests de convergence

Utiliser un test qui ne correspond pas à la série

Si une série ressemble à une fonction rationnelle de $n$, la comparaison ou la comparaison par limite est souvent meilleure que le test du rapport. Si elle contient des factorielles ou des exponentielles, le test du rapport est souvent meilleur que la comparaison.

Oublier les conditions

Les tests de comparaison et de comparaison par limite s’appliquent aux séries à termes positifs. Le test des séries alternées exige des valeurs absolues positives, décroissantes à partir d’un certain rang, et une limite nulle. Le test intégral exige la positivité, la continuité et la décroissance sur l’intervalle considéré.

Traiter $L = 1$ comme une conclusion

Pour les tests du rapport et de la racine, $L = 1$ signifie que le test n’a pas tranché la question. Il faut alors utiliser une autre méthode.

Supposer que $a_n \to 0$ suffit

C’est une condition nécessaire pour la convergence, mais pas suffisante. La série harmonique est le contre-exemple classique.

Où les tests de convergence des séries sont utilisés

Les tests de convergence apparaissent partout en calcul différentiel et intégral et en analyse. Ils aident à classer les sommes infinies, à justifier les manipulations sur les séries entières et à décider si une méthode d’approximation est mathématiquement sûre à utiliser.

En pratique, la vraie compétence est la reconnaissance de formes. Vous apprenez à faire correspondre la structure d’une série au test qui la révèle le plus vite.

Essayez un problème similaire

Essayez

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n!}.$$

Avant de calculer quoi que ce soit, décidez quel test correspond le mieux à sa forme et expliquez pourquoi. Cette habitude est généralement plus utile que de se lancer trop vite dans les calculs.

Ensuite, résolvez-le et vérifiez si ce même test resterait votre premier choix pour

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{3^n}.$$

Essayer un cas de plus est une bonne façon de bien retenir le schéma.