Limites — Définition, règles et méthode de calcul

En calcul différentiel, une limite est la valeur vers laquelle une fonction tend lorsque l’entrée s’approche d’un point. On utilise les limites lorsque la substitution directe n’aide pas, surtout près des trous, des sauts ou des expressions qui produisent $0/0$.

En notation symbolique,

$$\lim_{x \to a} f(x) = L$$

signifie que lorsque $x$ se rapproche de $a$, les valeurs de $f(x)$ se rapprochent de $L$.

L’idée essentielle est qu’une limite dépend du comportement au voisinage du point, pas seulement de la valeur exacte en $x=a$. La fonction peut y prendre une autre valeur, ou même ne pas y être définie, et la limite peut tout de même exister.

Définition d’une limite : s’approcher, pas forcément atteindre

Le mot « limite » parle d’approche, pas forcément d’atteinte. Si

$$\lim_{x \to 2} f(x) = 5$$

cela ne signifie pas automatiquement que $f(2) = 5$. Cela signifie que $f(x)$ se rapproche de $5$ lorsque $x$ se rapproche de $2$ des deux côtés.

C’est pour cela que les limites sont importantes pour les fonctions définies par morceaux, les expressions rationnelles et les graphes avec des trous. Elles permettent de décrire ce que fait la fonction près d’un point même lorsque ce point lui-même pose problème.

Règles sur les limites que vous pouvez utiliser sans risque

Lorsque les limites plus simples existent, vous pouvez les combiner pour calculer des limites plus compliquées.

Si

$$\lim_{x \to a} f(x) = L \qquad \text{and} \qquad \lim_{x \to a} g(x) = M,$$

alors :

$$\lim_{x \to a} \left(f(x) + g(x)\right) = L + M$$ $$\lim_{x \to a} \left(c f(x)\right) = cL$$ $$\lim_{x \to a} \left(f(x)g(x)\right) = LM$$ $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M} \qquad \text{if } M \ne 0$$

La condition $M \ne 0$ est importante. Si la limite du dénominateur vaut $0$, la règle du quotient ne justifie pas cette étape.

Pour les polynômes et beaucoup de fonctions usuelles, la substitution directe fonctionne parce que la fonction est continue au point étudié.

Comment calculer une limite simple

La plupart des exercices de base sur les limites suivent le même ordre :

1. Essayez la substitution directe.
2. Si vous obtenez un nombre réel ordinaire, c’est la limite.
3. Si vous obtenez une forme indéterminée telle que $0/0$, simplifiez d’abord.
4. Si l’expression peut se comporter différemment des deux côtés, comparez les limites unilatérales.

La notation unilatérale s’écrit ainsi :

$$\lim_{x \to a^-} f(x) \qquad \text{and} \qquad \lim_{x \to a^+} f(x)$$

La limite complète existe seulement si les deux limites unilatérales existent et sont égales.

Exemple corrigé : une limite de type $0/0$

Calculer

$$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$$

La substitution directe donne

$$\frac{1^2 - 1}{1 - 1} = \frac{0}{0}$$

Ce n’est pas la réponse. Cela indique seulement que la substitution directe ne suffit pas à terminer le calcul.

Factorisons le numérateur :

$$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$$

Pour $x \ne 1$,

$$\frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1$$

La limite devient alors plus simple :

$$\lim_{x \to 1} (x + 1) = 2$$

Donc

$$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = 2$$

La fonction d’origine n’est pas définie en $x = 1$, mais la limite existe quand même parce que les valeurs voisines se rapprochent de $2$. C’est le schéma classique d’une discontinuité amovible.

Erreurs fréquentes dans le calcul des limites

1. Traiter $0/0$ comme une valeur finale. C’est un signal d’alerte, pas une solution.
2. Supposer que la limite doit être égale à $f(a)$. Cela n’arrive que lorsque la fonction est continue en $a$.
3. Utiliser la règle du quotient lorsque la limite du dénominateur vaut $0$. Dans ce cas, la condition de la règle n’est pas satisfaite.
4. Ignorer le comportement à gauche et à droite. Si les deux côtés tendent vers des valeurs différentes, la limite n’existe pas.
5. Simplifier des facteurs sans préciser la condition. Dans l’exemple corrigé, simplifier par $x-1$ n’est valable que pour $x \ne 1$, ce qui suffit pour la limite puisque les limites utilisent les points voisins.

Où les limites sont utilisées en calcul différentiel

Les limites sont le point de départ de plusieurs idées fondamentales du calcul différentiel. Elles servent à

1. définir les dérivées,
2. décrire la continuité,
3. analyser le comportement près des asymptotes ou des extrémités, et
4. justifier des simplifications près de points où une formule n’est pas directement définie.

Si vous poursuivez avec les dérivées, les intégrales ou les suites et séries infinies, les limites font partie du langage qui les sous-tend toutes.

Une vérification rapide avant de continuer

Après avoir calculé une limite, posez-vous une question : les valeurs voisines se dirigent-elles vraiment vers votre réponse des deux côtés ?

Cette vérification rapide permet d’éviter beaucoup d’erreurs, surtout avec les fonctions définies par morceaux et les expressions rationnelles.

Essayez une limite similaire

Essayez

$$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$$

Suivez le même schéma : substituer, remarquer le $0/0$, factoriser, simplifier, puis substituer à nouveau. Si vous voulez aller plus loin, essayez votre propre exemple avec une fonction définie par morceaux et vérifiez si les limites à gauche et à droite coïncident.