급수 수렴 판정법 — 비율판정법, 근판정법, 비교판정법 등

급수 수렴 판정법은 무한급수가 수렴하는지 발산하는지를 판단하는 데 쓰입니다. 핵심은 각 판정법을 따로 외우는 것이 아닙니다. 항의 형태에 맞는 판정법을 고르는 법을 익히는 것입니다.

빠르게 고르는 방법이 필요하다면, 여기서 시작하세요:

1. 먼저 $a_n \to 0$인지 확인합니다. 그렇지 않으면 급수는 발산합니다.
2. 먼저 익숙한 형태가 있는지 봅니다. 특히 등비급수나 $p$-급수인지 확인합니다.
3. 양항급수이고 잘 알려진 기준 급수와 비슷하면 비교판정법을 사용합니다.
4. 팩토리얼, 지수식, 거듭제곱이 지배적이면 비율판정법이나 근판정법을 사용합니다.
5. 부호가 번갈아 나오고 항의 크기가 $0$으로 감소할 때만 교대급수판정법을 사용합니다.

급수 수렴 판정법이 알려주는 것

급수

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n,$$

에서 수렴이란 부분합이 어떤 유한한 극한값에 가까워진다는 뜻입니다. 발산은 그렇지 않다는 뜻입니다.

수렴 판정법은 보통 합 자체를 계산해 주지는 않습니다. 대신 유한한 합이 존재하는지를 알려줍니다. 이는 목표가 값을 구하는 것이 아니라 분류하는 것인 경우가 많기 때문에 중요합니다.

먼저 발산을 위한 일반항 판정법부터

복잡한 판정법을 고르기 전에, 먼저 항 자체를 확인하세요.

만약

$$\lim_{n \to \infty} a_n \ne 0,$$

이면

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$$

은 반드시 발산합니다.

이것을 흔히 발산을 위한 일반항 판정법이라고 합니다. 다만 이것은 한 방향 판정법일 뿐입니다. 즉, $a_n \to 0$이라고 해서 반드시 수렴하는 것은 아닙니다.

예를 들어,

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$$

은 $\frac{1}{n} \to 0$임에도 여전히 발산합니다.

알맞은 수렴 판정법을 고르는 방법

먼저 등비급수와 $p$-급수를 알아보기

가장 먼저 알아봐야 할 기본 형태입니다.

등비급수

$$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$$

는 $|r| < 1$일 때 수렴하고, $|r| \ge 1$일 때 발산합니다.

$p$-급수

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$$

는 $p > 1$일 때 수렴하고, $p \le 1$일 때 발산합니다.

주어진 급수가 이들 중 하나와 비슷해 보인다면, 그것이 보통 다음 단계의 힌트가 됩니다.

양항급수에는 비교판정법 사용하기

비교판정법은 양항급수에 사용합니다. 논리는 직관적입니다. 어떤 수렴하는 급수의 항보다 내 급수의 항이 더 크지 않다면, 내 급수도 수렴합니다. 반대로 어떤 발산하는 급수의 항보다 내 급수의 항이 적어도 그만큼 크다면, 내 급수도 발산합니다.

이 판정법은 부등식에 의존하므로, 항들을 깔끔하게 비교할 수 있을 때 가장 유용합니다.

지배적인 거동이 같다면 극한비교판정법 사용하기

직접 부등식을 세우는 것이 어색하지만 두 양항급수가 같은 지배적 거동을 가질 때는 극한비교판정법을 사용합니다.

만약

$$a_n > 0, \qquad b_n > 0,$$

이고

$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = c$$

가 어떤 유한한 상수 $c > 0$라면, $\sum a_n$과 $\sum b_n$은 둘 다 수렴하거나 둘 다 발산합니다.

이 방법은 $n$에 대한 유리식이 나올 때 특히 깔끔한 선택인 경우가 많습니다.

팩토리얼과 지수식에는 비율판정법 사용하기

팩토리얼이나 지수 인자가 보이면 비율판정법을 사용합니다.

급수

$$\sum a_n,$$

에 대해

$$L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$$

를 봅니다.

그러면:

1. $L < 1$이면 급수는 절대수렴합니다.
2. $L > 1$ 또는 $L = \infty$이면 급수는 발산합니다.
3. $L = 1$이면 판정할 수 없습니다.

마지막 경우가 중요합니다. 극한이 $1$이라고 해서 그 자체로 수렴이나 발산이 결정되지는 않습니다.

$n$제곱 구조가 들어 있으면 근판정법 사용하기

$n$제곱근을 취하는 것이 자연스러운 경우, 특히 $(\cdots)^n$ 꼴의 항에서는 근판정법을 사용합니다.

다음을 계산합니다.

$$L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}.$$

결론은 비율판정법과 같습니다:

1. $L < 1$이면 급수는 절대수렴합니다.
2. $L > 1$이면 급수는 발산합니다.
3. $L = 1$이면 판정할 수 없습니다.

조건이 맞을 때만 교대급수판정법 사용하기

이 판정법은 부호가 번갈아 나올 때 사용하며, 보통

$$\sum (-1)^n b_n \quad \text{or} \quad \sum (-1)^{n+1} b_n,$$

처럼 쓰고 $b_n \ge 0$입니다.

$b_n$이 결국 감소하고 $b_n \to 0$이면, 그 급수는 수렴합니다.

이 판정법은 수렴을 보여 주지만, 반드시 절대수렴을 뜻하는 것은 아닙니다. 이 차이가 바로 조건수렴과 절대수렴의 차이입니다.

급수가 함수에서 나오면 적분판정법 사용하기

급수가 양수이고 연속이며 감소하는 함수 $f(x)$에서 나오고, 큰 $n$에 대해 $f(n) = a_n$일 때 적분판정법을 사용합니다.

그러면

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$$

과

$$\int_1^{\infty} f(x)\,dx$$

는 둘 다 수렴하거나 둘 다 발산합니다.

이 방법은 특히 로그가 포함된 항이나 거듭제곱 형태의 항에 유용하지만, 필요한 조건이 성립할 때만 사용할 수 있습니다.

예제: $\sum \frac{n}{2^n}$에 대한 비율판정법

다음을 생각해 봅시다.

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}.$$

항에 지수 인자 $2^n$이 들어 있으므로, 비율판정법이 자연스러운 선택입니다.

다음과 같이 둡니다.

$$a_n = \frac{n}{2^n}.$$

그러면

$$\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{(n+1)/2^{n+1}}{n/2^n} = \frac{n+1}{2n}.$$

이제 극한을 구하면,

$$\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2}.$$

$\frac{1}{2} < 1$이므로, 이 급수는 절대수렴합니다.

여기서 중요한 점은 판정법의 선택입니다. 지수항 $2^n$ 때문에 비율이 깔끔하게 단순화되므로, 비율판정법으로 적은 계산만으로 빠르게 답을 얻을 수 있습니다.

수렴 판정법에서 자주 하는 실수

급수에 맞지 않는 판정법을 사용하는 경우

급수가 $n$에 대한 유리함수처럼 보이면 비율판정법보다 비교판정법이나 극한비교판정법이 더 나은 경우가 많습니다. 팩토리얼이나 지수식이 들어 있으면 비교판정법보다 비율판정법이 더 적절한 경우가 많습니다.

조건을 잊는 경우

비교판정법과 극한비교판정법은 양항급수에 쓰는 방법입니다. 교대급수판정법은 결국 감소하는 양의 크기와 극한이 $0$이라는 조건이 필요합니다. 적분판정법은 사용하는 구간에서 양수, 연속, 감소라는 조건이 필요합니다.

$L = 1$을 결론으로 받아들이는 경우

비율판정법과 근판정법 모두에서 $L = 1$은 문제가 해결되지 않았다는 뜻입니다. 다른 접근이 필요합니다.

$a_n \to 0$이면 충분하다고 생각하는 경우

이것은 수렴의 필요조건이지만 충분조건은 아닙니다. 조화급수가 대표적인 반례입니다.

급수 수렴 판정법은 어디에 쓰일까

수렴 판정법은 미적분학과 해석학 전반에 걸쳐 등장합니다. 무한합을 분류하고, 멱급수 조작을 정당화하며, 어떤 근사 방법을 수학적으로 안전하게 써도 되는지 판단하는 데 도움을 줍니다.

실제로 중요한 능력은 형태를 알아보는 것입니다. 급수의 구조를 가장 빠르게 드러내는 판정법과 연결하는 연습을 하는 셈입니다.

비슷한 문제를 풀어 보기

다음을 풀어 보세요.

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n!}.$$

계산을 시작하기 전에, 어떤 판정법이 이 형태에 가장 잘 맞는지 먼저 정하고 그 이유를 말해 보세요. 이런 습관은 성급하게 계산에 들어가는 것보다 대개 더 가치가 있습니다.

그다음 직접 풀어 보고, 다음 급수에서도 같은 판정법이 여전히 첫 선택인지 확인해 보세요.

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{3^n}.$$

한 가지 경우를 더 해 보는 것은 이런 패턴을 확실히 익히는 좋은 방법입니다.