級数の収束判定法 — 比判定法・根判定法・比較判定法 ほか

級数の収束判定法は、無限級数が収束するか発散するかを判断するための道具です。大事なのは、各判定法をばらばらに暗記することではありません。項の形に合った判定法を見分けられるようになることです。

手早く選びたいなら、まずは次の順で考えます。

1. まず $a_n \to 0$ かを確認する。そうでなければ、その級数は発散する。
2. 最初に既知のパターンを探す。特に等比級数や $p$-級数に注目する。
3. 正項級数で、よく知っている基準級数に似ているなら比較判定法を使う。
4. 階乗・指数関数・べきが支配的なら、比判定法または根判定法を使う。
5. 交代級数判定法は、符号が交互に変わり、項の大きさが $0$ に減少するときにだけ使う。

級数の収束判定法でわかること

級数

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n,$$

に対して、収束とは部分和が有限な極限に近づくことを意味します。発散とは、そうならないことです。

収束判定法は、ふつう和そのものを計算するものではありません。有限な和が存在するかどうかを教えてくれます。この違いは重要です。多くの場合の目的は値を求めることではなく、収束か発散かを分類することだからです。

まずは発散のための一般項判定法から始める

少し高度な判定法を選ぶ前に、まず項そのものを確認します。

もし

$$\lim_{n \to \infty} a_n \ne 0,$$

ならば

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$$

は必ず発散します。

これは発散に対する一般項判定法と呼ばれることがあります。ただし一方向の判定にすぎません。$a_n \to 0$ だからといって、収束が保証されるわけではありません。

たとえば

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$$

は、$\frac{1}{n} \to 0$ であるにもかかわらず発散します。

適切な収束判定法の選び方

まず等比級数と $p$-級数を見抜く

これらは最初に見分けたい基本モデルです。

等比級数

$$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$$

は、$|r| < 1$ のとき収束し、$|r| \ge 1$ のとき発散します。

$p$-級数

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$$

は、$p > 1$ のとき収束し、$p \le 1$ のとき発散します。

与えられた級数がこれらのどちらかに近い形なら、それが次の一手のヒントになることが多いです。

正項級数には比較判定法を使う

比較判定法は、正項からなる級数に使います。考え方は直感的です。ある既知の収束級数の項より自分の級数の項が大きくなければ、その級数も収束します。逆に、既知の発散級数の項以上であれば、その級数も発散します。

この判定法は不等式に依存するので、項どうしをきれいに比較できるときに特に有効です。

支配的な振る舞いが同じなら極限比較判定法を使う

直接の不等式で比べにくくても、2つの正項級数が同じ支配的な振る舞いをもつなら、極限比較判定法が使えます。

もし

$$a_n > 0, \qquad b_n > 0,$$

かつ

$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = c$$

がある有限定数 $c > 0$ になるなら、$\sum a_n$ と $\sum b_n$ は同時に収束するか、同時に発散します。

これは $n$ の有理式に対して特にすっきり使えることが多いです。

階乗や指数関数には比判定法を使う

階乗や指数関数的な因子が現れるときは、比判定法が有力です。

級数

$$\sum a_n,$$

に対して

$$L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$$

を調べます。

すると次が成り立ちます。

1. $L < 1$ なら、その級数は絶対収束する。
2. $L > 1$ または $L = \infty$ なら、その級数は発散する。
3. $L = 1$ なら、この判定法だけでは結論が出ない。

最後のケースは重要です。極限が $1$ だからといって、それだけで収束とも発散とも言えません。

$n$ 乗の形が入っているなら根判定法を使う

$n$ 乗根をとるのが自然なとき、特に $(\cdots)^n$ のような項では根判定法が有効です。

次を計算します。

$$L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}.$$

結論は比判定法と同じです。

1. $L < 1$ なら、その級数は絶対収束する。
2. $L > 1$ なら、その級数は発散する。
3. $L = 1$ なら、この判定法だけでは結論が出ない。

交代級数判定法は条件を満たすときだけ使う

これは符号が交互に変わるときに使います。典型的には

$$\sum (-1)^n b_n \quad \text{or} \quad \sum (-1)^{n+1} b_n,$$

の形で、$b_n \ge 0$ とします。

$b_n$ が十分大きい $n$ で単調減少し、かつ $b_n \to 0$ なら、その級数は収束します。

この判定法でわかるのは収束であって、必ずしも絶対収束ではありません。この違いが、条件収束と絶対収束の違いです。

級数が関数から来ているなら積分判定法を使う

積分判定法は、級数が正で連続かつ減少する関数 $f(x)$ から来ていて、大きな $n$ に対して $f(n) = a_n$ となるときに使います。

このとき

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$$

と

$$\int_1^{\infty} f(x)\,dx$$

は、同時に収束するか、同時に発散します。

これは特に対数を含む項やべき型の項で便利ですが、必要な条件が成り立っている場合に限ります。

例題：$\sum \frac{n}{2^n}$ に比判定法を使う

次を考えます。

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}.$$

この項には指数因子 $2^n$ が含まれているので、比判定法を使うのが自然です。

$$a_n = \frac{n}{2^n}$$

とおきます。

すると

$$\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{(n+1)/2^{n+1}}{n/2^n} = \frac{n+1}{2n}.$$

ここで極限をとると、

$$\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2}.$$

$\frac{1}{2} < 1$ なので、この級数は絶対収束します。

ここで大切なのは、判定法の選び方です。指数項 $2^n$ があることで比がきれいに簡単になるため、比判定法なら少ない計算で素早く答えが出せます。

収束判定法でよくあるミス

級数に合わない判定法を使う

級数が $n$ の有理関数のように見えるなら、比判定法より比較判定法や極限比較判定法のほうがよいことが多いです。階乗や指数関数が含まれるなら、比較判定法より比判定法のほうが向いていることが多いです。

条件を見落とす

比較判定法と極限比較判定法は正項級数に対するものです。交代級数判定法では、最終的に正の大きさが単調減少し、極限が $0$ である必要があります。積分判定法では、使う区間で正値・連続・減少であることが必要です。

$L = 1$ を結論だと思ってしまう

比判定法でも根判定法でも、$L = 1$ はその判定法では決着がつかなかったという意味です。別の方法が必要です。

$a_n \to 0$ で十分だと思ってしまう

これは収束の必要条件ではありますが、十分条件ではありません。調和級数はその代表的な反例です。

級数の収束判定法はどこで使われるか

収束判定法は、微積分や解析学のさまざまな場面で現れます。無限和を分類したり、べき級数の操作を正当化したり、近似法を数学的に安全に使えるかを判断したりするのに役立ちます。

実際に重要なのは、パターン認識の力です。級数の構造を、その構造を最も速く明らかにしてくれる判定法に対応づける練習をしているのです。

似た問題に挑戦してみよう

次を考えてみてください。

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n!}.$$

計算を始める前に、どの判定法がこの形に最も合っているか、そしてその理由を考えてみましょう。この習慣は、すぐに計算へ飛びつくより価値があることが多いです。

そのあと実際に解いてみて、次の級数でも同じ判定法を最初に選ぶかどうかを確かめてください。

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{3^n}.$$

もう1つ例を試すと、パターンがしっかり身につきやすくなります。