级数敛散性判别法——比值、根值、比较等

级数敛散性判别法用来判断一个无穷级数是收敛还是发散。关键不在于孤立地死记每一种判别法，而在于学会根据项的形式选择合适的方法。

如果你想快速判断该用哪一种，可以先按下面的顺序来：

1. 先检查 $a_n \to 0$ 是否成立。如果不成立，级数发散。
2. 先看是否有熟悉的模式，尤其是几何级数或 $p$ 级数。
3. 对于正项且看起来接近某个熟悉基准的级数，用比较判别法。
4. 当阶乘、指数或幂次占主导时，用比值判别法或根值判别法。
5. 只有在符号交替且项的大小递减到 $0$ 时，才使用交错级数判别法。

级数敛散性判别法告诉你什么

对于级数

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n,$$

收敛表示它的部分和趋于某个有限极限。发散则表示部分和不会趋于有限值。

敛散性判别法通常不会直接算出级数的和。它告诉你有限和是否存在。这个区别很重要，因为很多时候目标是分类，而不是求值。

先用项判别法判断发散

在选择更复杂的判别法之前，先看级数的各项本身。

如果

$$\lim_{n \to \infty} a_n \ne 0,$$

那么

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$$

一定发散。

这有时也叫发散的第 $n$ 项判别法。它只是单向的：如果 $a_n \to 0$，这并不保证级数收敛。

例如，

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$$

虽然 $\frac{1}{n} \to 0$，但它仍然发散。

如何选择合适的敛散性判别法

先识别几何级数和 $p$ 级数

这两类是最先要认出来的基本模型。

几何级数

$$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$$

在 $|r| < 1$ 时收敛，在 $|r| \ge 1$ 时发散。

$p$ 级数

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$$

在 $p > 1$ 时收敛，在 $p \le 1$ 时发散。

如果你的级数看起来接近这两类中的一种，通常就能提示下一步该怎么做。

对正项级数使用比较判别法

比较判别法适用于正项级数。它的逻辑很直观：如果你的各项不大于某个已知收敛级数的对应项，那么你的级数也收敛；如果你的各项至少和某个已知发散级数的对应项一样大，那么你的级数也发散。

这个判别法依赖不等式，因此当你能比较干净地比较各项大小时最有用。

当主导行为一致时用极限比较判别法

如果直接写不等式不太方便，但两个正项级数有相同的主导行为，就用极限比较判别法。

如果

$$a_n > 0, \qquad b_n > 0,$$

并且

$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = c$$

其中 $c$ 是某个有限常数且 $c > 0$，那么 $\sum a_n$ 与 $\sum b_n$ 要么同时收敛，要么同时发散。

对于关于 $n$ 的有理式，这通常是最简洁的选择。

阶乘和指数出现时用比值判别法

当级数中出现阶乘或指数因子时，适合用比值判别法。

对于

$$\sum a_n,$$

考察

$$L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|.$$

那么：

1. 如果 $L < 1$，级数绝对收敛。
2. 如果 $L > 1$ 或 $L = \infty$，级数发散。
3. 如果 $L = 1$，该判别法无法得出结论。

最后一种情况很重要。极限等于 $1$ 本身并不能说明级数收敛还是发散。

当含有 $n$ 次幂结构时用根值判别法

当取 $n$ 次方根比较自然时，尤其是项中有 $(\cdots)^n$ 这样的形式，就适合用根值判别法。

计算

$$L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}.$$

结论与比值判别法相同：

1. 如果 $L < 1$，级数绝对收敛。
2. 如果 $L > 1$，级数发散。
3. 如果 $L = 1$，该判别法无法得出结论。

只有满足条件时才用交错级数判别法

当符号交替时使用，通常形式如

$$\sum (-1)^n b_n \quad \text{or} \quad \sum (-1)^{n+1} b_n,$$

其中 $b_n \ge 0$。

如果 $b_n$ 最终单调递减，且 $b_n \to 0$，那么该级数收敛。

这个判别法说明级数收敛，但不一定是绝对收敛。这正是条件收敛与绝对收敛之间的区别。

当级数来自函数时用积分判别法

如果级数对应于一个正的、连续的、递减的函数 $f(x)$，并且当 $n$ 足够大时有 $f(n) = a_n$，就可以使用积分判别法。

那么

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$$

与

$$\int_1^{\infty} f(x)\,dx$$

要么同时收敛，要么同时发散。

它对含对数项和幂函数项的级数尤其有用，但前提是必须满足所要求的条件。

例题：对 $\sum \frac{n}{2^n}$ 使用比值判别法

考虑

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}.$$

各项中含有指数因子 $2^n$，所以比值判别法是很自然的选择。

设

$$a_n = \frac{n}{2^n}.$$

则

$$\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{(n+1)/2^{n+1}}{n/2^n} = \frac{n+1}{2n}.$$

现在取极限：

$$\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2}.$$

因为 $\frac{1}{2} < 1$，所以该级数绝对收敛。

这里最重要的是判别法的选择。指数项 $2^n$ 使得比值能够很简洁地化简，因此比值判别法几乎不用多少代数运算就能快速得到答案。

使用敛散性判别法时的常见错误

使用了与级数形式不匹配的判别法

如果一个级数看起来像关于 $n$ 的有理函数，那么比较判别法或极限比较判别法通常比比值判别法更合适。如果它含有阶乘或指数，那么比值判别法通常比比较判别法更好。

忘记检查条件

比较判别法和极限比较判别法适用于正项级数。交错级数判别法要求项的绝对值最终单调递减并且极限为 $0$。积分判别法要求在所用区间上满足正性、连续性和递减性。

把 $L = 1$ 当成结论

对于比值判别法和根值判别法，$L = 1$ 表示这个判别法没有解决问题。你需要换一种方法。

误以为 $a_n \to 0$ 就足够了

这是收敛的必要条件，但不是充分条件。调和级数就是标准反例。

级数敛散性判别法用在哪里

敛散性判别法在微积分和分析学中都会反复出现。它们帮助我们分类无穷和、证明幂级数运算的合理性，并判断某种近似方法在数学上是否可以安全使用。

在实际学习中，真正重要的能力是模式识别。你要学会把一个级数的结构与最能快速揭示这种结构的判别法对应起来。

试一道类似的题

试着判断

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n!}.$$

在开始计算之前，先判断哪种判别法最适合这种形式，并说明理由。这个习惯通常比一上来就做代数运算更有价值。

然后把它解出来，再检查对于

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{3^n}.$$

你是否仍然会优先选择同一种判别法。

再多做一个例子，是让这种模式真正记住的好方法。