การทดสอบการลู่เข้าของอนุกรม — Ratio, Root, Comparison และอื่น ๆ

การทดสอบการลู่เข้าของอนุกรมช่วยให้คุณตัดสินได้ว่าอนุกรมอนันต์ลู่เข้าหรือลู่ออก หัวใจสำคัญไม่ใช่การท่องจำการทดสอบแต่ละแบบแยกกัน แต่คือการเรียนรู้ว่าการทดสอบแบบไหนเหมาะกับรูปแบบของพจน์

ถ้าคุณต้องการวิธีเลือกแบบเร็ว ๆ ให้เริ่มจากตรงนี้:

1. ตรวจสอบก่อนว่า $a_n \to 0$ หรือไม่ ถ้าไม่ อนุกรมลู่ออก
2. มองหารูปแบบที่คุ้นเคยก่อน โดยเฉพาะอนุกรมเรขาคณิตหรือ $p$-series
3. ใช้ comparison test กับพจน์บวกที่มีลักษณะคล้ายอนุกรมมาตรฐานที่รู้จัก
4. ใช้ ratio test หรือ root test เมื่อมีแฟกทอเรียล เอ็กซ์โพเนนเชียล หรือกำลังเป็นตัวเด่น
5. ใช้ alternating series test เฉพาะเมื่อเครื่องหมายสลับกันและขนาดของพจน์ลดลงสู่ $0$

การทดสอบการลู่เข้าของอนุกรมบอกอะไรได้บ้าง

สำหรับอนุกรม

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n,$$

การลู่เข้า หมายถึงผลบวกย่อยเข้าใกล้ลิมิตที่มีค่าจำกัด ส่วนการลู่ออก หมายถึงผลบวกย่อยไม่เข้าใกล้ลิมิตเช่นนั้น

โดยทั่วไป การทดสอบการลู่เข้าไม่ได้คำนวณค่าผลบวกของอนุกรม แต่บอกว่ามีผลบวกจำกัดอยู่หรือไม่ ความต่างนี้สำคัญ เพราะหลายครั้งเป้าหมายคือการจำแนกประเภท ไม่ใช่การหาค่า

เริ่มจากการทดสอบพจน์เพื่อสรุปว่าลู่ออก

ก่อนจะเลือกการทดสอบที่ซับซ้อน ให้ตรวจดูตัวพจน์ก่อน

ถ้า

$$\lim_{n \to \infty} a_n \ne 0,$$

แล้ว

$$\sum_{n \to \infty} a_n$$

จะต้องลู่ออก

การทดสอบนี้บางครั้งเรียกว่า $n$th-term test for divergence เป็นการทดสอบทางเดียวเท่านั้น: ถ้า $a_n \to 0$ ก็ ไม่ได้ รับประกันว่าอนุกรมจะลู่เข้า

ตัวอย่างเช่น

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$$

ก็ยังลู่ออก แม้ว่า $\frac{1}{n} \to 0$

จะเลือกการทดสอบการลู่เข้าที่เหมาะสมได้อย่างไร

เริ่มจากสังเกตอนุกรมเรขาคณิตและ $p$-series

สองแบบนี้เป็นต้นแบบแรกที่ควรจำให้ได้

อนุกรมเรขาคณิต

$$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$$

ลู่เข้าเมื่อ $|r| < 1$ และลู่ออกเมื่อ $|r| \ge 1$

ส่วน $p$-series

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$$

ลู่เข้าเมื่อ $p > 1$ และลู่ออกเมื่อ $p \le 1$

ถ้าอนุกรมของคุณดูใกล้เคียงกับแบบใดแบบหนึ่งนี้ นั่นมักบอกใบ้ว่าควรทำอะไรต่อ

ใช้ comparison test กับพจน์บวก

ใช้ comparison test กับอนุกรมที่มีพจน์เป็นบวก หลักคิดค่อนข้างตรงไปตรงมา: ถ้าพจน์ของคุณไม่ใหญ่ไปกว่าพจน์ของอนุกรมที่ทราบอยู่แล้วว่าลู่เข้า อนุกรมของคุณก็ลู่เข้าด้วย ถ้าพจน์ของคุณอย่างน้อยก็ใหญ่เท่ากับพจน์ของอนุกรมที่ทราบว่าลู่ออก อนุกรมของคุณก็ลู่ออกด้วย

การทดสอบนี้อาศัยอสมการ จึงมีประโยชน์มากที่สุดเมื่อคุณเปรียบเทียบพจน์ได้อย่างชัดเจน

ใช้ limit comparison เมื่อพฤติกรรมเด่นเหมือนกัน

ใช้ limit comparison เมื่อการตั้งอสมการโดยตรงดูไม่สะดวก แต่อนุกรมพจน์บวกสองอนุกรมมีพฤติกรรมเด่นเหมือนกัน

ถ้า

$$a_n > 0, \qquad b_n > 0,$$

และ

$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = c$$

สำหรับค่าคงที่จำกัดบางค่า $c > 0$ แล้ว $\sum a_n$ และ $\sum b_n$ จะลู่เข้าทั้งคู่หรือลู่ออกทั้งคู่

วิธีนี้มักเป็นตัวเลือกที่สะอาดที่สุดสำหรับนิพจน์เศษส่วนของ $n$

ใช้ ratio test เมื่อมีแฟกทอเรียลและเอ็กซ์โพเนนเชียล

ใช้ ratio test เมื่อมีแฟกทอเรียลหรือพจน์เอ็กซ์โพเนนเชียลปรากฏอยู่

สำหรับ

$$\sum a_n,$$

ให้พิจารณา

$$L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|.$$

แล้วได้ว่า:

1. ถ้า $L < 1$ อนุกรมลู่เข้าแบบสัมบูรณ์
2. ถ้า $L > 1$ หรือ $L = \infty$ อนุกรมลู่ออก
3. ถ้า $L = 1$ การทดสอบนี้ยังสรุปไม่ได้

กรณีสุดท้ายสำคัญมาก ลิมิตเท่ากับ $1$ ไม่ได้แปลว่าลู่เข้าหรือลู่ออกด้วยตัวมันเอง

ใช้ root test เมื่อมีโครงสร้างเป็นกำลังที่ $n$

ใช้ root test เมื่อการหารากที่ $n$ เป็นสิ่งที่คำนวณได้อย่างเป็นธรรมชาติ โดยเฉพาะพจน์ที่มีรูปแบบ $(\cdots)^n$

คำนวณ

$$L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}.$$

ข้อสรุปเหมือนกับ ratio test คือ:

1. ถ้า $L < 1$ อนุกรมลู่เข้าแบบสัมบูรณ์
2. ถ้า $L > 1$ อนุกรมลู่ออก
3. ถ้า $L = 1$ การทดสอบนี้ยังสรุปไม่ได้

ใช้ alternating series test เฉพาะเมื่อเงื่อนไขครบ

ใช้วิธีนี้เมื่อเครื่องหมายสลับกัน โดยมากอยู่ในรูป

$$\sum (-1)^n b_n \quad \text{or} \quad \sum (-1)^{n+1} b_n,$$

โดยที่ $b_n \ge 0$

ถ้า $b_n$ ลดลงในที่สุด และ $b_n \to 0$ แล้วอนุกรมจะลู่เข้า

การทดสอบนี้แสดงการลู่เข้าได้ แต่ไม่ได้หมายความว่าจะลู่เข้าแบบสัมบูรณ์เสมอไป ความต่างนี้คือความต่างระหว่างการลู่เข้าแบบมีเงื่อนไขกับการลู่เข้าแบบสัมบูรณ์

ใช้ integral test เมื่ออนุกรมมาจากฟังก์ชัน

ใช้ integral test เมื่ออนุกรมมาจากฟังก์ชันบวก ต่อเนื่อง และลดลง $f(x)$ โดยมี $f(n) = a_n$ สำหรับ $n$ ที่มากพอ

แล้ว

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$$

และ

$$\int_1^{\infty} f(x)\,dx$$

จะลู่เข้าทั้งคู่หรือลู่ออกทั้งคู่

วิธีนี้มีประโยชน์มากโดยเฉพาะกับพจน์ที่เกี่ยวกับลอการิทึมหรือกำลัง แต่ใช้ได้ก็ต่อเมื่อเงื่อนไขที่ต้องการครบเท่านั้น

ตัวอย่างทำจริง: ratio test กับ $\sum \frac{n}{2^n}$

พิจารณา

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}.$$

พจน์มีตัวประกอบเอ็กซ์โพเนนเชียล $2^n$ ดังนั้น ratio test จึงเป็นตัวเลือกที่เหมาะตามธรรมชาติ

ให้

$$a_n = \frac{n}{2^n}.$$

แล้ว

$$\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{(n+1)/2^{n+1}}{n/2^n} = \frac{n+1}{2n}.$$

จากนั้นหาลิมิต:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2}.$$

เพราะ $\frac{1}{2} < 1$ อนุกรมนี้จึงลู่เข้าแบบสัมบูรณ์

ประเด็นสำคัญคือการเลือกการทดสอบ พจน์เอ็กซ์โพเนนเชียล $2^n$ ทำให้อัตราส่วนย่อได้อย่างสะอาด ดังนั้น ratio test จึงให้คำตอบได้เร็วโดยใช้พีชคณิตไม่มาก

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในการทดสอบการลู่เข้า

ใช้การทดสอบที่ไม่เหมาะกับรูปของอนุกรม

ถ้าอนุกรมดูเหมือนฟังก์ชันเศษส่วนของ $n$ การใช้ comparison หรือ limit comparison มักดีกว่า ratio แต่ถ้ามีแฟกทอเรียลหรือเอ็กซ์โพเนนเชียล ratio มักดีกว่า comparison

ลืมเงื่อนไขของการทดสอบ

comparison และ limit comparison ใช้กับอนุกรมพจน์บวก ส่วน alternating series test ต้องการให้ขนาดของพจน์เป็นบวกลดลงในที่สุดและมีลิมิตเป็น $0$ ขณะที่ integral test ต้องการความเป็นบวก ความต่อเนื่อง และพฤติกรรมลดลงบนช่วงที่ใช้

คิดว่า $L = 1$ คือข้อสรุป

ทั้ง ratio test และ root test ถ้าได้ $L = 1$ แปลว่าการทดสอบยังตอบคำถามไม่ได้ คุณต้องใช้วิธีอื่น

คิดว่าแค่ $a_n \to 0$ ก็พอ

นี่เป็นเงื่อนไขจำเป็นสำหรับการลู่เข้า แต่ไม่ใช่เงื่อนไขเพียงพอ อนุกรมฮาร์มอนิกคือตัวอย่างโต้แย้งมาตรฐาน

การทดสอบการลู่เข้าของอนุกรมถูกใช้ที่ไหน

การทดสอบการลู่เข้าปรากฏอยู่ทั่วทั้งแคลคูลัสและการวิเคราะห์ มันช่วยจำแนกผลบวกอนันต์ ให้เหตุผลรองรับการจัดการกับ power series และช่วยตัดสินว่าวิธีประมาณค่าหนึ่ง ๆ ปลอดภัยทางคณิตศาสตร์หรือไม่

ในทางปฏิบัติ ทักษะที่สำคัญจริง ๆ คือการมองหารูปแบบ คุณกำลังฝึกจับคู่โครงสร้างของอนุกรมกับการทดสอบที่เปิดเผยโครงสร้างนั้นได้เร็วที่สุด

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองพิจารณา

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n!}.$$

ก่อนจะคำนวณอะไร ให้ตัดสินใจก่อนว่าการทดสอบแบบไหนเหมาะกับรูปของมันที่สุด และบอกเหตุผล นิสัยแบบนี้มักมีค่ามากกว่าการรีบลงมือทำพีชคณิต

จากนั้นลองแก้โจทย์ และตรวจดูว่าการทดสอบเดิมยังเป็นตัวเลือกแรกของคุณหรือไม่สำหรับ

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{3^n}.$$

การลองเพิ่มอีกหนึ่งกรณีเป็นวิธีที่ดีในการทำให้มองเห็นรูปแบบได้ชัดขึ้น