Le théorème de Pythagore — Formule, démonstration et exemples

Le théorème de Pythagore est une formule qui exprime la relation entre les trois côtés d'un triangle rectangle. Si l'on note $a$ et $b$ les deux côtés formant l'angle droit et $c$ l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit), on a :

$a^2 + b^2 = c^2$

Le point essentiel à retenir est le suivant : cette formule ne s'applique qu'aux triangles rectangles.

Comprendre rapidement le sens de la formule

Ce théorème nous dit que « la somme des carrés des deux petits côtés est égale au carré de l'hypoténuse ». On ne compare pas les longueurs telles quelles, mais les valeurs élevées à la puissance $2$.

Si l'on trace un carré sur chaque côté du triangle, la somme des aires des deux petits carrés correspond exactement à l'aire du grand carré. $a^2 + b^2 = c^2$ est simplement la traduction mathématique de cette relation d'aires.

En cours de mathématiques, si les longueurs des côtés sont $3$, $4$ et $5$, alors :

$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$

On peut donc en déduire qu'il s'agit d'un triangle rectangle. C'est ce qu'on appelle la réciproque du théorème de Pythagore. Attention, il ne s'agit pas d'additionner $3$ et $4$ pour obtenir $7$.

Comment utiliser le théorème de Pythagore

On peut diviser l'utilisation du théorème en deux cas principaux :

1. Calculer l'hypoténuse

Si vous connaissez les deux côtés de l'angle droit, vous pouvez trouver l'hypoténuse avec :

$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

2. Calculer l'un des côtés de l'angle droit

Si vous connaissez l'hypoténuse et l'un des autres côtés, on déplace les termes de l'équation pour obtenir :

$a = \sqrt{c^2 - b^2}$

Cependant, l'hypoténuse $c$ doit toujours être le côté le plus long.

Exemple concret

Calculons l'hypoténuse d'un triangle dont les deux côtés de l'angle droit mesurent $6$ cm et $8$ cm.

En remplaçant dans la formule, on obtient :

$c = \sqrt{6^2 + 8^2}$

Le calcul donne :

$c = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$

L'hypoténuse mesure donc $10$ cm.

L'erreur la plus fréquente dans cet exemple est de faire $6+8=14$. Ce ne sont pas les longueurs que l'on additionne, mais leurs carrés.

Une démonstration simple par les aires

Il existe de nombreuses démonstrations, mais celle basée sur les aires est l'une des plus intuitives.

Imaginons un grand carré de côté $a+b$, à l'intérieur duquel on place quatre triangles rectangles identiques. Selon la disposition, on peut exprimer l'aire de la figure centrale de deux manières différentes.

L'aire du grand carré est :

$(a+b)^2$

D'un autre côté, cette aire est aussi la somme de « l'aire des quatre triangles » et de « l'aire du carré central ». L'aire d'un seul triangle étant $\frac{ab}{2}$, on a :

$(a+b)^2 = 4 \cdot \frac{ab}{2} + c^2$

En simplifiant le côté droit :

$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$

On aboutit ainsi à :

$a^2 + b^2 = c^2$

Erreurs courantes et comment les éviter

L'utiliser pour un triangle non rectangle

Le théorème de Pythagore ne fonctionne que pour les triangles rectangles. Vérifiez toujours la présence d'un angle droit avant de commencer.

Confondre l'hypoténuse avec un autre côté

L'hypoténuse est le côté le plus long, situé face à l'angle droit. Si vous vous trompez de côté, la structure de $c^2 - b^2$ sera fausse.

Confondre longueur et carré

C'est $a^2 + b^2 = c^2$ et non $a+b=c$. Pour éviter la confusion, essayez de visualiser la « relation entre les aires des carrés » plutôt que d'apprendre la formule par cœur.

Oublier de simplifier la racine carrée

Par exemple, laisser $\sqrt{72}$ n'est pas forcément faux, mais si nécessaire, on le simplifie ainsi :

$\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$

Vérifiez si l'énoncé demande un résultat sous forme d'entier ou une racine simplifiée.

Dans quels domaines l'utilise-t-on ?

Au-delà de la géométrie scolaire, on le retrouve pour calculer la distance entre deux points sur un plan, la diagonale d'un rectangle, la longueur d'une rampe ou d'une échelle, ainsi que dans les calculs de base en architecture et en topographie. Dès qu'un angle droit est impliqué, c'est souvent la solution.

La formule de distance entre deux points dans un repère cartésien est, au fond, une application de ce théorème sur un triangle formé par la différence horizontale et la différence verticale.

Des triplets de nombres utiles à connaître

Il existe des combinaisons de nombres entiers qui fonctionnent parfaitement, comme $3,4,5$ ou $5,12,13$. C'est très pratique pour estimer rapidement un résultat, même si l'essentiel reste de savoir manipuler la formule.

Pour aller plus loin

Essayez de résoudre ce problème : « L'hypoténuse mesure $13$ et l'un des côtés de l'angle droit mesure $5$, trouvez la longueur du dernier côté ». Ensuite, regardez comment ce même raisonnement s'applique au calcul de la distance entre deux points sur un plan ; vous verrez alors clairement toute la puissance de ce théorème.