ทฤษฎีบทพีทาโกรัส — สูตร การพิสูจน์ และตัวอย่างโจทย์

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส คือสูตรที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างด้านทั้ง 3 ด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หากให้ด้านประกอบมุมฉากสองด้านคือ $a$ และ $b$ และให้ด้านตรงข้ามมุมฉาก (ด้านที่ยาวที่สุด) คือ $c$ จะได้ความสัมพันธ์ดังนี้:

$a^2 + b^2 = c^2$

จุดสำคัญที่สุดที่ต้องจำไว้คือ สูตรนี้ใช้ได้กับ "รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก" เท่านั้น

ทำความเข้าใจความหมายของสูตรแบบง่ายๆ

ทฤษฎีนี้บอกเราว่า "ผลรวมของกำลังสองของด้านสั้นสองด้าน จะเท่ากับกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก" สังเกตว่าเราไม่ได้นำความยาวมาบวกกันตรงๆ แต่เป็นการเปรียบเทียบค่าที่ยกกำลัง $2$

หากเราสร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านแต่ละด้าน พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปเล็กสองรูปบวกกัน จะเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปใหญ่พอดี ซึ่ง $a^2 + b^2 = c^2$ คือการเขียนความสัมพันธ์ของพื้นที่นั้นให้อยู่ในรูปของสมการนั่นเอง

ในวิชาคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน หากความยาวด้านคือ $3$, $4$, $5$ แล้วพบว่า

$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$

เราสามารถสรุปได้ว่ารูปนั้นเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งนี่คือการใช้ "บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส" ไม่ใช่การนำ $3$ กับ $4$ มาบวกกันเพื่อให้ได้ $7$

วิธีการใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

เพื่อให้เข้าใจง่าย เราสามารถแบ่งวิธีการใช้ได้เป็น 2 กรณี:

1. การหาความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก

หากทราบความยาวของด้านประกอบมุมฉากทั้งสองด้าน สามารถหาด้านตรงข้ามมุมฉากได้จาก:

$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

2. การหาความยาวด้านประกอบมุมฉากด้านใดด้านหนึ่ง

หากทราบความยาวด้านตรงข้ามมุมฉากและด้านประกอบมุมฉากอีกด้านหนึ่ง ให้ย้ายข้างสมการเพื่อหาค่าดังนี้:

$a = \sqrt{c^2 - b^2}$

อย่างไรก็ตาม ด้านตรงข้ามมุมฉาก $c$ จะต้องมีความยาวมากกว่าด้านอื่นๆ เสมอ

ลองดูขั้นตอนจากตัวอย่างโจทย์

กำหนดให้ด้านประกอบมุมฉากสองด้านยาว $6$ ซม. และ $8$ ซม. จงหาความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก

แทนค่าในสูตรจะได้:

$c = \sqrt{6^2 + 8^2}$

เมื่อคำนวณแล้วจะได้:

$c = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$

ดังนั้น ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $10$ ซม.

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในตัวอย่างนี้คือ การคำนวณเป็น $6+8=14$ ซึ่งสิ่งที่ต้องนำมาบวกกันไม่ใช่ความยาวของด้าน แต่เป็น "ค่ากำลังสอง" ของความยาวด้าน

การพิสูจน์ด้วยพื้นที่ (แบบสั้น)

มีการพิสูจน์หลายวิธี แต่วิธีที่ใช้เรื่องพื้นที่นั้นเข้าใจได้ง่ายที่สุด

ลองนึกถึงรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่ที่มีด้านยาว $a+b$ และภายในมีรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่เท่ากันทุกประการ 4 รูปวางเรียงกัน ซึ่งเราสามารถหาพื้นที่ของรูปตรงกลางได้ 2 วิธี

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปใหญ่คือ:

$(a+b)^2$

ในขณะเดียวกัน พื้นที่นี้คือผลรวมของ "พื้นที่สามเหลี่ยม 4 รูป" และ "พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปกลาง" เนื่องจากพื้นที่สามเหลี่ยม 1 รูปคือ $\frac{ab}{2}$ ดังนั้น:

$(a+b)^2 = 4 \cdot \frac{ab}{2} + c^2$

เมื่อจัดรูปทางขวาจะได้:

$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$

ซึ่งนำไปสู่:

$a^2 + b^2 = c^2$

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยและวิธีแก้ไข

ใช้กับรูปสามเหลี่ยมที่ไม่ใช่มุมฉาก

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสใช้ได้กับสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น โปรดตรวจสอบเงื่อนไขว่ามีมุมฉากก่อนเริ่มคำนวณ

จำแนกด้านตรงข้ามมุมฉากผิด

ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมฉากและเป็นด้านที่ยาวที่สุด หากระบุผิด รูปแบบของ $c^2 - b^2$ จะผิดเพี้ยนไปทันที

สับสนระหว่างความยาวกับกำลังสอง

ต้องเป็น $a^2 + b^2 = c^2$ ไม่ใช่ $a+b=c$ แทนที่จะจำแค่รูปแบบสูตร ให้ลองทำความเข้าใจว่าเป็น "ความสัมพันธ์ของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส" จะช่วยให้ไม่สับสน

ไม่ลดรูปราก (Root)

ตัวอย่างเช่น $\sqrt{72}$ แม้จะไม่ผิด แต่หากจำเป็นต้องจัดรูปให้สวยงาม ควรทำเป็น:

$\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$

ตรวจสอบคำสั่งของโจทย์ด้วยว่าต้องการคำตอบเป็นจำนวนเต็ม หรือรูปติดรากที่ลดทอนเป็นอย่างต่ำแล้ว

นำไปใช้ในสถานการณ์ไหนบ้าง?

นอกจากเรขาคณิตในโรงเรียนแล้ว ทฤษฎีนี้ยังปรากฏอยู่ใน การหาระยะห่างบนระนาบพิกัด, การหาเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า, ความยาวของทางลาดหรือบันได, รวมถึงการคำนวณพื้นฐานในงานก่อสร้างและการสำรวจ หากมีมุมฉากซ่อนอยู่ มีโอกาสสูงมากที่จะต้องใช้ทฤษฎีนี้

แม้แต่สูตรการหาระยะห่างระหว่างจุดสองจุดในระบบพิกัด แท้จริงแล้วก็คือการใช้ทฤษฎีนี้กับสามเหลี่ยมมุมฉากที่เกิดจากผลต่างของค่าแกน X และแกน Y นั่นเอง

ชุดตัวเลขที่ควรจำเพื่อความรวดเร็ว

มีชุดตัวเลขจำนวนเต็มที่ลงตัว เช่น $3,4,5$ หรือ $5,12,13$ ซึ่งมีประโยชน์มากในการกะประมาณคำตอบ แต่ไม่จำเป็นต้องท่องจำทั้งหมด เพราะหัวใจสำคัญคือการใช้สูตรให้ถูกต้อง

ลองฝึกทำต่อยอด

ขั้นแรก ลองแก้โจทย์ "ถ้าด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $13$ และด้านประกอบมุมฉากด้านหนึ่งยาว $5$ จงหาความยาวของด้านที่เหลือ" ด้วยตัวเองดูครับ หลังจากนั้นลองสังเกตว่าแนวคิดนี้เชื่อมโยงกับการหาระยะห่างระหว่างจุดสองจุดบนระนาบพิกัดอย่างไร แล้วคุณจะเห็นภาพการนำทฤษฎีนี้ไปใช้ได้ชัดเจนยิ่งขึ้น