피타고라스의 정리 — 공식·증명·예제

피타고라스의 정리는 직각삼각형의 세 변 사이의 관계를 나타내는 공식입니다. '삼평방의 정리'라고도 불리죠. 직각을 낀 두 변을 $a$, $b$, 직각과 마주 보는 빗변을 $c$이라고 하면,

$a^2 + b^2 = c^2$

이 성립합니다. 여기서 가장 중요한 점은 딱 하나, 이 공식은 오직 직각삼각형에서만 사용할 수 있다는 것입니다.

공식의 의미 빠르게 파악하기

이 정리는 "짧은 두 변의 제곱의 합이 빗변의 제곱과 같다"는 관계입니다. 길이를 그대로 더하는 것이 아니라, $2$ 제곱한 값을 비교하는 것이 핵심입니다.

각 변 위에 정사각형을 그린다고 생각하면, 작은 두 정사각형의 넓이의 합이 큰 정사각형 하나의 넓이와 정확히 일치하게 됩니다. $a^2 + b^2 = c^2$는 바로 그 넓이의 관계를 식으로 나타낸 것입니다.

학교 수학에서는 변의 길이가 $3$, $4$, $5$일 때

$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$

이 성립하므로, 이를 통해 직각삼각형임을 판단할 수 있습니다. 이는 피타고라스의 정리의 '역'을 이용한 것입니다. $3$와 $4$을 더해서 $7$이 된다는 이야기가 아니라는 점에 주의하세요.

피타고라스의 정리 활용법

사용법을 두 가지 경우로 나누면 이해하기 쉽습니다.

1. 빗변의 길이 구하기

직각을 낀 두 변의 길이를 알고 있다면,

$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

를 통해 빗변의 길이를 구할 수 있습니다.

2. 나머지 한 변의 길이 구하기

빗변과 다른 한 변의 길이를 알고 있다면, 식을 이항하여

$a = \sqrt{c^2 - b^2}$

와 같이 구합니다. 단, 빗변 $c$는 항상 다른 변보다 길어야 합니다.

예제로 흐름 익히기

직각을 낀 두 변이 $6$ cm와 $8$ cm일 때, 빗변의 길이를 구해 보겠습니다.

공식에 대입하면,

$c = \sqrt{6^2 + 8^2}$

가 됩니다. 계산하면

$c = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$

이므로, 빗변의 길이는 $10$ cm입니다.

이 예제에서 가장 많이 하는 실수는 $6+8=14$라고 계산하는 것입니다. 더해야 할 것은 변의 길이가 아니라, 제곱한 값입니다.

넓이로 보는 간단한 증명

증명 방법은 여러 가지가 있지만, 넓이를 이용한 방법이 비교적 이해하기 쉽습니다.

한 변의 길이가 $a+b$인 큰 정사각형을 생각하고, 그 안에 합동인 직각삼각형 4개를 배치합니다. 배치 방식에 따라 중앙에 생기는 도형의 넓이를 두 가지 방법으로 표현할 수 있습니다.

큰 정사각형의 넓이는

$(a+b)^2$

입니다. 한편, 이 넓이는 '삼각형 4개의 넓이'와 '중앙의 작은 정사각형 넓이'의 합이기도 합니다. 삼각형 하나의 넓이는 $\frac{ab}{2}$이므로,

$(a+b)^2 = 4 \cdot \frac{ab}{2} + c^2$

이 됩니다. 우변을 정리하면

$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$

이 되며, 결과적으로

$a^2 + b^2 = c^2$

라는 식이 도출됩니다.

자주 하는 실수와 해결책

직각삼각형이 아닌데 사용하는 경우

피타고라스의 정리는 오직 직각삼각형에서만 성립합니다. 문제를 풀기 전, 반드시 직각이 있는지 확인하세요.

빗변을 잘못 지정하는 경우

빗변은 직각과 마주 보는 가장 긴 변입니다. 이를 잘못 지정하면 $c^2 - b^2$의 식 자체가 틀어지게 됩니다.

길이와 제곱을 혼동하는 경우

$a^2 + b^2 = c^2$이지, $a+b=c$이 아닙니다. 식의 형태를 단순히 암기하기보다 '정사각형의 넓이 관계'라고 이해하면 덜 헷갈립니다.

루트를 단순화하지 않는 경우

예를 들어 $\sqrt{72}$라고 써도 틀린 것은 아니지만, 필요에 따라

$\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$

와 같이 정리해야 합니다. 문제에서 정수 형태를 원하는지, 기약 근호 형태를 원하는지 확인하세요.

어떤 상황에서 사용할까?

학교 기하학뿐만 아니라 좌표평면 위의 거리, 직사각형의 대각선, 경사로나 사다리의 길이, 건축 및 측량의 기본 계산 등에서도 자주 등장합니다. 직각이 숨어 있는 상황이라면 상당히 높은 확률로 이 정리가 정답의 열쇠가 됩니다.

좌표평면에서 두 점 사이의 거리를 구하는 공식 역시, 가로 차이와 세로 차이로 만들어지는 직각삼각형에 이 정리를 적용한 것입니다.

외워두면 편한 숫자 조합

$3,4,5$이나 $5,12,13$처럼 깔끔한 정수로 성립하는 조합들이 있습니다. 계산 시간을 단축하는 데 유용하지만, 모든 조합을 외우기보다 공식의 원리를 정확히 익히는 것이 더 중요합니다.

다음 단계로 도전하기

먼저 "빗변이 $13$, 한 변이 $5$일 때 나머지 한 변의 길이를 구하는" 문제를 직접 풀어보세요. 그 후, 좌표평면의 두 점 사이의 거리 공식에 어떻게 같은 원리가 적용되는지 살펴보면 이 정리의 활용도를 확실히 체감하실 수 있을 겁니다.