Satz des Pythagoras — Formel, Beweis und Beispiele

Der Satz des Pythagoras beschreibt die Beziehung zwischen den drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks. Wenn wir die beiden Katheten (die Seiten, die den rechten Winkel einschließen) als $a$ und $b$ und die Hypotenuse (die Seite gegenüber dem rechten Winkel) als $c$ bezeichnen, gilt:

$a^2 + b^2 = c^2$

Der wichtigste Punkt vorab: Diese Formel darf nur bei rechtwinkligen Dreiecken angewendet werden.

Die Bedeutung der Formel schnell verstehen

Im Kern besagt dieser Satz: „Die Summe der Quadrate der beiden kürzeren Seiten ist gleich dem Quadrat der Hypotenuse.“ Wir addieren also nicht einfach die Längen, sondern vergleichen die Werte, die wir mit $2$ potenziert haben.

Stellt man sich vor, auf jeder Seite würde ein Quadrat gezeichnet, dann entspricht die Summe der Flächen der zwei kleineren Quadrate genau der Fläche des einen großen Quadrats. $a^2 + b^2 = c^2$ ist nichts anderes als diese Flächenbeziehung in Form einer Gleichung.

In der Schulmathematik kann man zum Beispiel bei Seitenlängen von $3$, $4$ und $5$ feststellen, dass

$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$

gilt. Damit lässt sich beweisen, dass es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt. Hier wird der sogenannte Kehrsatz des Pythagoras verwendet. Es geht nicht darum, $3$ und $4$ einfach zu addieren, um $7$ zu erhalten.

Anwendung des Satzes des Pythagoras

Man kann die Anwendung in zwei einfache Fälle unterteilen:

1. Die Hypotenuse berechnen

Wenn die beiden Katheten bekannt sind, kann die Hypotenuse so berechnet werden:

$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

2. Eine Kathete berechnen

Wenn die Hypotenuse und eine Kathete bekannt sind, stellt man die Formel um:

$a = \sqrt{c^2 - b^2}$

Wichtig ist hierbei, dass die Hypotenuse $c$ immer die längste Seite des Dreiecks sein muss.

Beispielrechnung

Gegeben sind zwei Katheten mit Längen von $6$ cm und $8$ cm. Wir suchen die Hypotenuse.

Setzen wir die Werte in die Formel ein:

$c = \sqrt{6^2 + 8^2}$

Nach der Berechnung ergibt sich:

$c = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$

Die Hypotenuse ist also $10$ cm lang.

Ein häufiger Fehler in diesem Beispiel ist es, $6+8=14$ zu rechnen. Man addiert nicht die Längen, sondern die quadrierten Werte.

Ein kurzer Beweis über die Fläche

Es gibt viele Beweise, aber der über die Fläche ist besonders anschaulich.

Stellen wir uns ein großes Quadrat mit der Seitenlänge $a+b$ vor, in dem vier kongruente rechtwinklige Dreiecke angeordnet sind. Je nachdem, wie man sie anordnet, kann man die Fläche der mittleren Figur auf zwei Arten ausdrücken.

Die Fläche des großen Quadrats ist:

$(a+b)^2$

Gleichzeitig ist sie aber auch die Summe aus der „Fläche der vier Dreiecke“ und der „Fläche des inneren Quadrats“. Da die Fläche eines Dreiecks $\frac{ab}{2}$ ist, ergibt sich:

$(a+b)^2 = 4 \cdot \frac{ab}{2} + c^2$

Vereinfacht man die rechte Seite, erhält man:

$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$

Daraus folgt:

$a^2 + b^2 = c^2$

Häufige Fehler und wie man sie vermeidet

Anwendung bei nicht-rechtwinkligen Dreiecken

Der Satz des Pythagoras gilt ausschließlich für rechtwinklige Dreiecke. Prüfen Sie immer zuerst, ob ein rechter Winkel vorhanden ist.

Verwechslung der Seiten

Die Hypotenuse ist immer die längste Seite und liegt gegenüber dem rechten Winkel. Wenn man dies verwechselt, stimmt die Struktur von $c^2 - b^2$ nicht mehr.

Verwechslung von Länge und Quadrat

Es gilt $a^2 + b^2 = c^2$ und nicht $a+b=c$. Anstatt die Formel einfach auswendig zu lernen, hilft es, sie als „Beziehung zwischen Quadratflächen“ zu verstehen, um Verwirrungen zu vermeiden.

Wurzeln nicht vereinfachen

Ein Ergebnis wie $\sqrt{72}$ ist mathematisch nicht falsch, sollte aber bei Bedarf vereinfacht werden, zum Beispiel zu:

$\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$

Prüfen Sie in der Aufgabenstellung, ob ein ganzzahliges Ergebnis oder eine vereinfachte Wurzelschreibweise gefordert ist.

Wo wird der Satz angewendet?

Nicht nur in der Schulgeometrie, sondern auch bei der Berechnung von Distanzen in einem Koordinatensystem, Diagonalen von Rechtecken, der Länge von Rampen oder Leitern sowie in der Architektur und Vermessungstechnik. Überall dort, wo ein rechter Winkel versteckt ist, ist dieser Satz meist die Lösung.

Auch die Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten in einem Koordinatensystem basiert letztlich auf diesem Satz, indem man ein rechtwinkliges Dreieck aus der horizontalen und vertikalen Differenz bildet.

Nützliche Zahlenkombinationen (Pythagoreische Tripel)

Es gibt Kombinationen aus schönen ganzen Zahlen, wie zum Beispiel $3,4,5$ oder $5,12,13$. Diese sind hilfreich, um schnell eine Schätzung abzugeben, aber das Wesentliche bleibt die korrekte Anwendung der Formel.

Zum Ausprobieren

Versuchen Sie zuerst, folgende Aufgabe selbst zu lösen: „Die Hypotenuse ist $13$ und eine Kathete ist $5$. Berechnen Sie die andere Seite.“ Wenn Sie danach prüfen, wie dieser Gedanke auf den Abstand zwischen zwei Punkten in einem Koordinatensystem übertragbar ist, wird die Anwendung des Satzes noch klarer.