Équations aux dérivées partielles (EDP)

Une équation aux dérivées partielles, ou EDP, est une équation qui fait intervenir une fonction inconnue de deux variables ou plus ainsi que ses dérivées partielles. Si vous avez cherché « qu’est-ce qu’une EDP ? », la réponse courte est la suivante : les EDP modélisent la façon dont quelque chose évolue lorsque plusieurs entrées comptent, généralement l’espace et le temps.

C’est la principale différence avec une équation différentielle ordinaire (EDO). Une EDO utilise une seule variable indépendante. Une EDP apparaît lorsque la quantité étudiée dépend d’au moins deux variables indépendantes, comme la position et le temps.

Ce qu’est une équation aux dérivées partielles

Si $u = u(x,t)$, alors $u$ dépend à la fois de la position $x$ et du temps $t$. Des dérivées comme

$$u_t = \frac{\partial u}{\partial t} \qquad \text{and} \qquad u_{xx} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

indiquent comment $u$ varie dans le temps et comment elle se courbe dans l’espace.

Une équation comme

$$u_t = k u_{xx}$$

est une EDP parce qu’elle relie des dérivées partielles d’une même fonction par rapport à différentes variables. Ici, $k$ est une constante. Dans les modèles de diffusion de la chaleur, c’est généralement une constante de diffusivité.

EDP vs EDO en une ligne

Si la quantité inconnue dépend d’une seule variable indépendante, on obtient généralement une EDO. Si elle dépend de plusieurs variables indépendantes, on obtient généralement une EDP.

Par exemple, une population qui évolue seulement avec le temps peut être modélisée par une EDO. Une température qui varie à la fois avec la position et le temps relève d’une EDP.

Intuition des EDP : pourquoi elles apparaissent

Les EDP apparaissent lorsqu’un champ entier évolue dans l’espace et le temps, et pas seulement un seul nombre.

• La température dans une barre métallique dépend de l’endroit où l’on se trouve et du moment considéré.
• Une corde vibrante dépend de la position le long de la corde et du temps.
• La pression, la concentration et le potentiel électrique sont aussi souvent modélisés comme des fonctions réparties dans l’espace.

Une EDP est donc généralement une loi qui décrit l’évolution d’une grandeur distribuée.

Exemple d’EDP : vérifier une solution de l’équation de la chaleur

Considérons l’équation de la chaleur en une dimension

$$u_t = k u_{xx}$$

sur l’intervalle $0 \le x \le 1$, et supposons que quelqu’un propose

$$u(x,t) = e^{-k \pi^2 t}\sin(\pi x).$$

La manière la plus rapide de rendre la notation des EDP concrète est de vérifier directement une solution candidate.

Étape 1 : dériver par rapport au temps

On considère $x$ comme fixé :

$$u_t = -k \pi^2 e^{-k \pi^2 t}\sin(\pi x).$$

Étape 2 : dériver deux fois par rapport à l’espace

Première dérivée :

$$u_x = \pi e^{-k \pi^2 t}\cos(\pi x).$$

Deuxième dérivée :

$$u_{xx} = -\pi^2 e^{-k \pi^2 t}\sin(\pi x).$$

On multiplie maintenant par $k$ :

$$k u_{xx} = -k \pi^2 e^{-k \pi^2 t}\sin(\pi x).$$

Cela coïncide avec $u_t$, donc

$$u_t = k u_{xx}.$$

Cette fonction est donc bien une solution de l’équation de la chaleur.

Si les conditions aux limites sont $u(0,t)=0$ et $u(1,t)=0$, elles sont aussi vérifiées ici parce que $\sin(0)=0$ et $\sin(\pi)=0$. Cette condition est importante : dans les problèmes d’EDP, résoudre l’équation seule ne suffit souvent pas.

Ce que signifie l’équation de la chaleur

L’équation de la chaleur dit que l’évolution temporelle est liée à la courbure spatiale.

Si $u_{xx}$ est grand et négatif en un point, alors $u_t$ y est négatif, donc la température diminue en ce point. En langage simple, les pics marqués s’aplanissent avec le temps. Ce comportement de lissage est l’une des raisons pour lesquelles l’équation de la chaleur est souvent la première EDP étudiée.

Erreurs fréquentes avec les EDP

Confondre une EDP et une EDO

Si la fonction inconnue dépend de plus d’une variable indépendante, il faut utiliser des dérivées partielles. C’est la différence structurelle essentielle.

Ignorer les conditions aux limites ou les conditions initiales

Un problème d’EDP s’accompagne généralement de conditions initiales, de conditions aux limites, ou des deux. Une fonction peut satisfaire l’EDP elle-même et pourtant ne pas résoudre complètement le problème si elle ne respecte pas ces conditions.

Lire la notation trop vite

$u_t$, $u_x$ et $u_{xx}$ répondent à des questions différentes. Le dernier est une dérivée seconde par rapport à l’espace, pas un produit de symboles.

Supposer que toutes les EDP se comportent comme l’équation de la chaleur

Différentes EDP modélisent des comportements différents. Les équations de la chaleur lissent. Les équations d’onde propagent des perturbations. L’équation de Laplace décrit des états d’équilibre. Le type d’EDP change l’intuition.

Où les équations aux dérivées partielles sont utilisées

Les EDP sont fondamentales en physique, en ingénierie et en mathématiques appliquées, car de nombreux systèmes réels sont distribués dans l’espace.

• Le transfert thermique utilise des équations de diffusion.
• Les vibrations et le son utilisent des équations d’onde.
• L’électrostatique et les écoulements stationnaires utilisent souvent les équations de Laplace ou de Poisson.
• Les modèles des fluides et de la mécanique quantique reposent aussi fortement sur les EDP.

Vous n’avez pas besoin de toute la théorie pour comprendre l’idée de base. Le schéma central suffit : une EDP relie les variations d’une même fonction selon plusieurs variables.

Comment lire un problème d’EDP

Quand vous voyez une EDP pour la première fois, demandez-vous :

1. Quelle est la fonction inconnue ?
2. De quelles variables dépend-elle ?
3. Quelles dérivées apparaissent ?
4. Quelles conditions initiales ou aux limites l’accompagnent ?

Cette liste de vérification évite beaucoup de confusion avant même de commencer à résoudre.

Essayez votre propre version

Prenez la même équation de la chaleur et remplacez la solution candidate par

$$u(x,t) = e^{-4k \pi^2 t}\sin(2\pi x).$$

Dérivez-la et vérifiez si elle satisfait encore $u_t = k u_{xx}$. Si vous voulez aller un peu plus loin, essayez votre propre mode sinusoïdal ou résolvez un exemple similaire avec conditions aux limites à l’aide de GPAI Solver.