Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις (PDE)

Μια μερική διαφορική εξίσωση, ή PDE, είναι μια εξίσωση που περιλαμβάνει μια άγνωστη συνάρτηση δύο ή περισσότερων μεταβλητών και τις μερικές παραγώγους της. Αν έψαχνες «τι είναι μια PDE», η σύντομη απάντηση είναι η εξής: οι PDE μοντελοποιούν το πώς αλλάζει κάτι όταν παίζουν ρόλο περισσότερες από μία είσοδοι, συνήθως ο χώρος και ο χρόνος.

Αυτή είναι η βασική διαφορά από μια συνήθη διαφορική εξίσωση (ODE). Μια ODE χρησιμοποιεί μία ανεξάρτητη μεταβλητή. Μια PDE εμφανίζεται όταν το μέγεθος που σε ενδιαφέρει εξαρτάται από τουλάχιστον δύο ανεξάρτητες μεταβλητές, όπως η θέση και ο χρόνος.

Τι είναι μια μερική διαφορική εξίσωση

Αν $u = u(x,t)$, τότε το $u$ εξαρτάται τόσο από τη θέση $x$ όσο και από τον χρόνο $t$. Παράγωγοι όπως

$$u_t = \frac{\partial u}{\partial t} \qquad \text{and} \qquad u_{xx} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

δείχνουν πώς αλλάζει το $u$ στον χρόνο και πώς καμπυλώνεται στον χώρο.

Μια εξίσωση όπως

$$u_t = k u_{xx}$$

είναι PDE επειδή συνδέει μερικές παραγώγους της ίδιας συνάρτησης ως προς διαφορετικές μεταβλητές. Εδώ το $k$ είναι μια σταθερά. Σε μοντέλα ροής θερμότητας, είναι συνήθως μια σταθερά διαχυτότητας.

PDE vs ODE σε μία γραμμή

Αν το άγνωστο μέγεθος εξαρτάται από μία ανεξάρτητη μεταβλητή, συνήθως παίρνεις μια ODE. Αν εξαρτάται από πολλές ανεξάρτητες μεταβλητές, συνήθως παίρνεις μια PDE.

Για παράδειγμα, ένας πληθυσμός που αλλάζει μόνο με τον χρόνο μπορεί να μοντελοποιηθεί με ODE. Η θερμοκρασία που αλλάζει τόσο με τη θέση όσο και με τον χρόνο είναι περίπτωση PDE.

Διαίσθηση για τις PDE: γιατί εμφανίζονται

Οι PDE εμφανίζονται όταν ένα ολόκληρο πεδίο αλλάζει στον χώρο και στον χρόνο, όχι μόνο ένας αριθμός.

• Η θερμοκρασία σε μια μεταλλική ράβδο εξαρτάται από το πού βρίσκεσαι και ποια χρονική στιγμή είναι.
• Μια δονούμενη χορδή εξαρτάται από τη θέση πάνω στη χορδή και από τον χρόνο.
• Η πίεση, η συγκέντρωση και το ηλεκτρικό δυναμικό επίσης συχνά μοντελοποιούνται ως συναρτήσεις κατανεμημένες στον χώρο.

Άρα μια PDE είναι συνήθως ένας νόμος για το πώς εξελίσσεται ένα κατανεμημένο μέγεθος.

Παράδειγμα PDE: έλεγχος μιας λύσης της εξίσωσης θερμότητας

Θεώρησε τη μονοδιάστατη εξίσωση θερμότητας

$$u_t = k u_{xx}$$

στο διάστημα $0 \le x \le 1$, και υπέθεσε ότι κάποιος προτείνει

$$u(x,t) = e^{-k \pi^2 t}\sin(\pi x).$$

Ο πιο γρήγορος τρόπος για να γίνει η σημειογραφία των PDE συγκεκριμένη είναι να ελέγξεις άμεσα μια υποψήφια λύση.

Βήμα 1: Παραγώγισε ως προς τον χρόνο

Θεώρησε το $x$ σταθερό:

$$u_t = -k \pi^2 e^{-k \pi^2 t}\sin(\pi x).$$

Βήμα 2: Παραγώγισε δύο φορές ως προς τον χώρο

Πρώτη παράγωγος:

$$u_x = \pi e^{-k \pi^2 t}\cos(\pi x).$$

Δεύτερη παράγωγος:

$$u_{xx} = -\pi^2 e^{-k \pi^2 t}\sin(\pi x).$$

Τώρα πολλαπλασίασε με $k$:

$$k u_{xx} = -k \pi^2 e^{-k \pi^2 t}\sin(\pi x).$$

Αυτό συμπίπτει με το $u_t$, άρα

$$u_t = k u_{xx}.$$

Επομένως αυτή η συνάρτηση είναι πράγματι λύση της εξίσωσης θερμότητας.

Αν οι συνοριακές συνθήκες είναι $u(0,t)=0$ και $u(1,t)=0$, τότε ισχύουν κι αυτές εδώ επειδή $\sin(0)=0$ και $\sin(\pi)=0$. Αυτή η συνθήκη έχει σημασία: στα προβλήματα PDE, η επίλυση της εξίσωσης από μόνη της συχνά δεν είναι όλη η δουλειά.

Τι σημαίνει η εξίσωση θερμότητας

Η εξίσωση θερμότητας λέει ότι η μεταβολή στον χρόνο συνδέεται με τη χωρική καμπυλότητα.

Αν το $u_{xx}$ είναι μεγάλο και αρνητικό σε ένα σημείο, τότε το $u_t$ είναι εκεί αρνητικό, άρα η θερμοκρασία μειώνεται σε εκείνο το σημείο. Με απλά λόγια, οι απότομες κορυφές εξομαλύνονται με τον χρόνο. Αυτή η εξομαλυντική συμπεριφορά είναι ένας λόγος που η εξίσωση θερμότητας είναι τόσο τυπική ως πρώτη PDE.

Συνηθισμένα λάθη στις PDE

Σύγχυση ανάμεσα σε PDE και ODE

Αν η άγνωστη συνάρτηση εξαρτάται από περισσότερες από μία ανεξάρτητες μεταβλητές, χρειάζεσαι μερικές παραγώγους. Αυτή είναι η βασική δομική διαφορά.

Παράβλεψη συνοριακών ή αρχικών συνθηκών

Ένα πρόβλημα PDE συνήθως συνοδεύεται από αρχικές συνθήκες, συνοριακές συνθήκες ή και τα δύο. Μια συνάρτηση μπορεί να ικανοποιεί την ίδια την PDE και παρ' όλα αυτά να μην λύνει το πλήρες πρόβλημα επειδή δεν ικανοποιεί αυτές τις συνθήκες.

Πολύ γρήγορη ανάγνωση της σημειογραφίας

Τα $u_t$, $u_x$ και $u_{xx}$ απαντούν σε διαφορετικά ερωτήματα. Το τελευταίο είναι δεύτερη παράγωγος ως προς τον χώρο, όχι γινόμενο συμβόλων.

Υπόθεση ότι κάθε PDE συμπεριφέρεται όπως η εξίσωση θερμότητας

Διαφορετικές PDE μοντελοποιούν διαφορετικές συμπεριφορές. Οι εξισώσεις θερμότητας εξομαλύνουν. Οι εξισώσεις κύματος διαδίδουν διαταραχές. Η εξίσωση Laplace περιγράφει καταστάσεις ισορροπίας. Ο τύπος της PDE αλλάζει και τη διαίσθηση.

Πού χρησιμοποιούνται οι μερικές διαφορικές εξισώσεις

Οι PDE είναι βασικές στη φυσική, τη μηχανική και τα εφαρμοσμένα μαθηματικά, επειδή πολλά πραγματικά συστήματα είναι κατανεμημένα στον χώρο.

• Η μεταφορά θερμότητας χρησιμοποιεί εξισώσεις διάχυσης.
• Οι ταλαντώσεις και ο ήχος χρησιμοποιούν εξισώσεις κύματος.
• Η ηλεκτροστατική και η μόνιμη ροή συχνά χρησιμοποιούν την εξίσωση Laplace ή Poisson.
• Τα μοντέλα ρευστών και τα κβαντικά μοντέλα επίσης βασίζονται έντονα στις PDE.

Δεν χρειάζεσαι όλη τη θεωρία για να καταλάβεις τη βασική ιδέα. Αρκεί το κεντρικό μοτίβο: μια PDE συνδέει μεταβολές της ίδιας συνάρτησης σε πολλές μεταβλητές.

Πώς να διαβάζεις ένα πρόβλημα PDE

Όταν βλέπεις πρώτη φορά μια PDE, ρώτησε:

1. Ποια είναι η άγνωστη συνάρτηση;
2. Από ποιες μεταβλητές εξαρτάται;
3. Ποιες παράγωγοι εμφανίζονται;
4. Ποιες αρχικές ή συνοριακές συνθήκες τη συνοδεύουν;

Αυτή η λίστα ελέγχου αποτρέπει πολλή σύγχυση πριν καν αρχίσει η επίλυση.

Δοκίμασε τη δική σου εκδοχή

Πάρε την ίδια εξίσωση θερμότητας και άλλαξε την υποψήφια λύση σε

$$u(x,t) = e^{-4k \pi^2 t}\sin(2\pi x).$$

Παραγώγισέ την και έλεγξε αν εξακολουθεί να ικανοποιεί την $u_t = k u_{xx}$. Αν θέλεις ένα ακόμη βήμα, δοκίμασε τον δικό σου ημιτονικό τρόπο ή λύσε ένα παρόμοιο παράδειγμα συνοριακών τιμών με το GPAI Solver.