Persamaan Diferensial Parsial (PDE)

Persamaan diferensial parsial, atau PDE, adalah persamaan yang melibatkan fungsi tak diketahui dari dua atau lebih variabel beserta turunan parsialnya. Jika Anda mencari "apa itu PDE", jawaban singkatnya adalah ini: PDE memodelkan bagaimana sesuatu berubah ketika lebih dari satu masukan berperan, biasanya ruang dan waktu.

Itulah perbedaan utamanya dengan persamaan diferensial biasa (ODE). ODE menggunakan satu variabel bebas. PDE muncul ketika besaran yang Anda perhatikan bergantung pada setidaknya dua variabel bebas, seperti posisi dan waktu.

Apa itu persamaan diferensial parsial

Jika $u = u(x,t)$, maka $u$ bergantung pada posisi $x$ dan waktu $t$. Turunan seperti

$$u_t = \frac{\partial u}{\partial t} \qquad \text{dan} \qquad u_{xx} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

menunjukkan bagaimana $u$ berubah terhadap waktu dan bagaimana kelengkungannya dalam ruang.

Persamaan seperti

$$u_t = k u_{xx}$$

adalah PDE karena menghubungkan turunan parsial dari fungsi yang sama terhadap variabel yang berbeda. Di sini $k$ adalah konstanta. Dalam model aliran panas, biasanya ini adalah konstanta difusivitas.

PDE vs ODE dalam satu kalimat

Jika besaran tak diketahui bergantung pada satu variabel bebas, biasanya Anda mendapatkan ODE. Jika bergantung pada beberapa variabel bebas, biasanya Anda mendapatkan PDE.

Sebagai contoh, populasi yang berubah hanya terhadap waktu dapat dimodelkan dengan ODE. Suhu yang berubah terhadap posisi dan waktu adalah situasi PDE.

Intuisi PDE: mengapa persamaan ini muncul

PDE muncul ketika suatu medan berubah di ruang dan waktu, bukan hanya satu angka.

• Suhu pada batang logam bergantung pada posisi Anda dan waktu.
• Senar yang bergetar bergantung pada posisi sepanjang senar dan waktu.
• Tekanan, konsentrasi, dan potensial listrik juga sering dimodelkan sebagai fungsi yang tersebar di ruang.

Jadi, PDE biasanya merupakan hukum tentang bagaimana suatu besaran terdistribusi berkembang.

Contoh PDE: memeriksa solusi persamaan panas

Perhatikan persamaan panas satu dimensi

$$u_t = k u_{xx}$$

pada interval $0 \le x \le 1$, dan misalkan seseorang mengusulkan

$$u(x,t) = e^{-k \pi^2 t}\sin(\pi x).$$

Cara tercepat agar notasi PDE terasa konkret adalah dengan memeriksa langsung satu solusi kandidat.

Langkah 1: Turunkan terhadap waktu

Anggap $x$ tetap:

$$u_t = -k \pi^2 e^{-k \pi^2 t}\sin(\pi x).$$

Langkah 2: Turunkan terhadap ruang dua kali

Turunan pertama:

$$u_x = \pi e^{-k \pi^2 t}\cos(\pi x).$$

Turunan kedua:

$$u_{xx} = -\pi^2 e^{-k \pi^2 t}\sin(\pi x).$$

Sekarang kalikan dengan $k$:

$$k u_{xx} = -k \pi^2 e^{-k \pi^2 t}\sin(\pi x).$$

Hasil ini sama dengan $u_t$, jadi

$$u_t = k u_{xx}.$$

Jadi fungsi ini memang merupakan solusi dari persamaan panas.

Jika syarat batasnya adalah $u(0,t)=0$ dan $u(1,t)=0$, syarat itu juga terpenuhi di sini karena $\sin(0)=0$ dan $\sin(\pi)=0$. Syarat ini penting: dalam soal PDE, menyelesaikan persamaannya saja sering kali belum cukup.

Apa arti persamaan panas

Persamaan panas menyatakan bahwa perubahan terhadap waktu terkait dengan kelengkungan spasial.

Jika $u_{xx}$ besar dan bernilai negatif di suatu titik, maka $u_t$ bernilai negatif di titik itu, sehingga suhu turun di sana. Dalam bahasa sederhana, puncak yang tajam akan menjadi semakin halus seiring waktu. Perilaku penghalusan ini adalah salah satu alasan persamaan panas menjadi PDE pertama yang sangat umum dipelajari.

Kesalahan umum pada PDE

Tertukar antara PDE dan ODE

Jika fungsi tak diketahui bergantung pada lebih dari satu variabel bebas, Anda memerlukan turunan parsial. Itulah perbedaan struktur yang paling penting.

Mengabaikan syarat batas atau syarat awal

Soal PDE biasanya disertai syarat awal, syarat batas, atau keduanya. Suatu fungsi bisa memenuhi PDE-nya sendiri tetapi tetap gagal menyelesaikan soal lengkap karena tidak memenuhi syarat-syarat tersebut.

Membaca notasi terlalu cepat

$u_t$, $u_x$, dan $u_{xx}$ menjawab pertanyaan yang berbeda. Yang terakhir adalah turunan kedua terhadap ruang, bukan hasil kali simbol.

Menganggap semua PDE berperilaku seperti persamaan panas

PDE yang berbeda memodelkan perilaku yang berbeda. Persamaan panas menghaluskan. Persamaan gelombang merambatkan gangguan. Persamaan Laplace menggambarkan keadaan setimbang. Jenis PDE mengubah intuisi yang tepat.

Di mana persamaan diferensial parsial digunakan

PDE sangat umum dalam fisika, teknik, dan matematika terapan karena banyak sistem nyata terdistribusi di ruang.

• Perpindahan panas menggunakan persamaan difusi.
• Getaran dan bunyi menggunakan persamaan gelombang.
• Elektrostatika dan aliran keadaan tunak sering menggunakan persamaan Laplace atau Poisson.
• Model fluida dan kuantum juga sangat bergantung pada PDE.

Anda tidak perlu menguasai seluruh teorinya untuk memahami gagasan dasarnya. Pola utamanya sudah cukup: PDE menghubungkan perubahan dari fungsi yang sama pada banyak variabel.

Cara membaca soal PDE

Saat pertama kali melihat PDE, tanyakan:

1. Apa fungsi tak diketahuinya?
2. Variabel apa saja yang memengaruhinya?
3. Turunan mana saja yang muncul?
4. Syarat awal atau syarat batas apa yang menyertainya?

Daftar periksa ini mencegah banyak kebingungan sebelum mulai menyelesaikan soal.

Coba versi Anda sendiri

Ambil persamaan panas yang sama dan ubah solusi kandidatnya menjadi

$$u(x,t) = e^{-4k \pi^2 t}\sin(2\pi x).$$

Turunkan fungsi itu dan periksa apakah masih memenuhi $u_t = k u_{xx}$. Jika ingin melangkah lebih jauh, coba mode sinus Anda sendiri atau selesaikan contoh nilai batas serupa dengan GPAI Solver.