สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (PDE)

สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย หรือ PDE คือสมการที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันไม่ทราบค่าซึ่งขึ้นกับตัวแปรตั้งแต่สองตัวขึ้นไป และอนุพันธ์ย่อยของมัน หากคุณค้นหาว่า "PDE คืออะไร" คำตอบสั้น ๆ คือ PDE ใช้จำลองการเปลี่ยนแปลงเมื่อมีอินพุตมากกว่าหนึ่งตัวที่มีผลร่วมกัน โดยมากคือ ตำแหน่งและเวลา

นี่คือความแตกต่างหลักจากสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ (ODE) โดย ODE ใช้ตัวแปรอิสระเพียงตัวเดียว ส่วน PDE จะเกิดขึ้นเมื่อปริมาณที่เราสนใจขึ้นกับตัวแปรอิสระอย่างน้อยสองตัว เช่น ตำแหน่งและเวลา

สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยคืออะไร

ถ้า $u = u(x,t)$ แปลว่า $u$ ขึ้นกับทั้งตำแหน่ง $x$ และเวลา $t$ อนุพันธ์อย่าง

$$u_t = \frac{\partial u}{\partial t} \qquad \text{and} \qquad u_{xx} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

บอกเราว่า $u$ เปลี่ยนไปตามเวลาอย่างไร และมีความโค้งงอในเชิงพื้นที่อย่างไร

สมการอย่าง

$$u_t = k u_{xx}$$

เป็น PDE เพราะมันเชื่อมโยงอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันเดียวกันเมื่อเทียบกับตัวแปรต่างกัน โดยที่ $k$ เป็นค่าคงที่ ในแบบจำลองการไหลของความร้อน มักเป็นค่าคงที่การแพร่

PDE เทียบกับ ODE ในบรรทัดเดียว

ถ้าปริมาณไม่ทราบค่าขึ้นกับตัวแปรอิสระเพียงตัวเดียว คุณมักได้ ODE ถ้ามันขึ้นกับตัวแปรอิสระหลายตัว คุณมักได้ PDE

ตัวอย่างเช่น จำนวนประชากรที่เปลี่ยนตามเวลาอย่างเดียวอาจจำลองด้วย ODE แต่ถ้าอุณหภูมิเปลี่ยนทั้งตามตำแหน่งและเวลา นั่นคือสถานการณ์ของ PDE

มุมมองเชิงสัญชาตญาณของ PDE: ทำไมจึงปรากฏ

PDE ปรากฏเมื่อมีสนามของปริมาณที่เปลี่ยนไปทั่วทั้งอวกาศและเวลา ไม่ใช่แค่ตัวเลขตัวเดียว

• อุณหภูมิในแท่งโลหะขึ้นกับว่าคุณอยู่ตรงไหนและเป็นเวลาใด
• การสั่นของเส้นเชือกขึ้นกับตำแหน่งตามแนวเส้นเชือกและเวลา
• ความดัน ความเข้มข้น และศักย์ไฟฟ้า ก็มักถูกจำลองเป็นฟังก์ชันที่กระจายอยู่ในอวกาศเช่นกัน

ดังนั้น PDE จึงมักเป็นกฎที่บอกว่าปริมาณที่กระจายตัวนั้นเปลี่ยนแปลงไปอย่างไร

ตัวอย่าง PDE: ตรวจสอบคำตอบของสมการความร้อน

พิจารณาสมการความร้อนหนึ่งมิติ

$$u_t = k u_{xx}$$

บนช่วง $0 \le x \le 1$ และสมมติว่ามีคนเสนอว่า

$$u(x,t) = e^{-k \pi^2 t}\sin(\pi x).$$

วิธีที่เร็วที่สุดในการทำให้สัญลักษณ์ของ PDE จับต้องได้ คือการตรวจสอบคำตอบที่คาดไว้โดยตรง

ขั้นที่ 1: หาอนุพันธ์เทียบกับเวลา

มองว่า $x$ คงที่:

$$u_t = -k \pi^2 e^{-k \pi^2 t}\sin(\pi x).$$

ขั้นที่ 2: หาอนุพันธ์เทียบกับตำแหน่งสองครั้ง

อนุพันธ์อันดับหนึ่ง:

$$u_x = \pi e^{-k \pi^2 t}\cos(\pi x).$$

อนุพันธ์อันดับสอง:

$$u_{xx} = -\pi^2 e^{-k \pi^2 t}\sin(\pi x).$$

ตอนนี้คูณด้วย $k$:

$$k u_{xx} = -k \pi^2 e^{-k \pi^2 t}\sin(\pi x).$$

ซึ่งตรงกับ $u_t$ ดังนั้น

$$u_t = k u_{xx}.$$

จึงสรุปได้ว่าฟังก์ชันนี้เป็นคำตอบของสมการความร้อนจริง

ถ้าเงื่อนไขขอบเขตคือ $u(0,t)=0$ และ $u(1,t)=0$ ก็เป็นจริงเช่นกัน เพราะ $\sin(0)=0$ และ $\sin(\pi)=0$ เงื่อนไขนี้สำคัญมาก เพราะในโจทย์ PDE การแก้สมการได้อย่างเดียวมักยังไม่ใช่งานทั้งหมด

สมการความร้อนหมายความว่าอย่างไร

สมการความร้อนบอกว่าการเปลี่ยนแปลงตามเวลาเชื่อมโยงกับความโค้งเชิงพื้นที่

ถ้า $u_{xx}$ มีค่ามากและเป็นลบที่จุดหนึ่ง ก็จะได้ว่า $u_t$ เป็นลบที่จุดนั้นด้วย ดังนั้นอุณหภูมิที่จุดนั้นจะลดลง พูดแบบง่าย ๆ คือ ยอดแหลมจะค่อย ๆ เรียบลงเมื่อเวลาผ่านไป พฤติกรรมการทำให้เรียบนี้เป็นเหตุผลหนึ่งที่สมการความร้อนมักถูกใช้เป็น PDE ตัวแรกในการเรียน

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับ PDE

สับสนระหว่าง PDE กับ ODE

ถ้าฟังก์ชันไม่ทราบค่าขึ้นกับตัวแปรอิสระมากกว่าหนึ่งตัว คุณต้องใช้อ นุพันธ์ย่อย นี่คือความต่างเชิงโครงสร้างที่สำคัญที่สุด

มองข้ามเงื่อนไขขอบเขตหรือเงื่อนไขต้น

โจทย์ PDE มักมาพร้อมกับเงื่อนไขต้น เงื่อนไขขอบเขต หรือทั้งสองอย่าง ฟังก์ชันหนึ่งอาจทำให้ PDE เป็นจริง แต่ยังไม่ผ่านโจทย์ทั้งหมด เพราะไม่สอดคล้องกับเงื่อนไขเหล่านั้น

อ่านสัญลักษณ์เร็วเกินไป

$u_t$, $u_x$ และ $u_{xx}$ ตอบคำถามคนละแบบ ตัวสุดท้ายคืออนุพันธ์อันดับสองเทียบกับตำแหน่ง ไม่ใช่ผลคูณของสัญลักษณ์

คิดว่า PDE ทุกตัวมีพฤติกรรมเหมือนสมการความร้อน

PDE แต่ละชนิดใช้จำลองพฤติกรรมต่างกัน สมการความร้อนทำให้เรียบ สมการคลื่นส่งผ่านการรบกวน และสมการลาปลาซอธิบายสภาวะสมดุล ชนิดของ PDE เปลี่ยนสัญชาตญาณที่ควรใช้

สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยถูกใช้ที่ไหน

PDE เป็นเครื่องมือมาตรฐานในฟิสิกส์ วิศวกรรม และคณิตศาสตร์ประยุกต์ เพราะระบบจริงจำนวนมากกระจายตัวอยู่ในอวกาศ

• การถ่ายเทความร้อนใช้สมการการแพร่
• การสั่นสะเทือนและเสียงใช้สมการคลื่น
• ไฟฟ้าสถิตและการไหลแบบคงตัวมักใช้สมการลาปลาซหรือปัวซง
• แบบจำลองของไหลและควอนตัมก็พึ่งพา PDE อย่างมากเช่นกัน

คุณไม่จำเป็นต้องรู้ทฤษฎีทั้งหมดเพื่อเข้าใจแนวคิดพื้นฐาน แค่เห็นรูปแบบหลักก็พอแล้ว: PDE เชื่อมโยงการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันเดียวกันผ่านหลายตัวแปร

วิธีอ่านโจทย์ PDE

เมื่อคุณเห็น PDE ครั้งแรก ให้ถามว่า:

1. ฟังก์ชันไม่ทราบค่าคืออะไร?
2. มันขึ้นกับตัวแปรใดบ้าง?
3. มีอนุพันธ์ใดปรากฏอยู่?
4. มีเงื่อนไขต้นหรือเงื่อนไขขอบเขตอะไรบ้าง?

เช็กลิสต์นี้ช่วยลดความสับสนได้มากก่อนจะเริ่มแก้จริง

ลองทำเวอร์ชันของคุณเอง

ใช้สมการความร้อนเดิม แล้วเปลี่ยนคำตอบที่คาดไว้เป็น

$$u(x,t) = e^{-4k \pi^2 t}\sin(2\pi x).$$

ลองหาอนุพันธ์แล้วตรวจสอบว่ามันยังทำให้ $u_t = k u_{xx}$ เป็นจริงหรือไม่ ถ้าอยากลองต่ออีกขั้น ให้ลองใช้ sine mode แบบอื่นของคุณเอง หรือแก้ตัวอย่างปัญหาค่าขอบเขตที่คล้ายกันด้วย GPAI Solver