Théorème des accroissements finis

Le théorème des accroissements finis dit que si une fonction est continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $(a,b)$, alors quelque part à l’intérieur de l’intervalle, la pente de sa tangente est égale au taux de variation moyen entre $a$ et $b$. En langage courant, une courbe suffisamment régulière doit, à un certain moment, avancer à sa « vitesse moyenne globale ».

Pour une fonction $f$ continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $(a,b)$, le théorème affirme qu’il existe un certain $c \in (a,b)$ tel que

$$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Les conditions sont importantes. Si la continuité ou la dérivabilité manque sur l’intervalle demandé, la conclusion n’est pas forcément vraie.

Théorème des accroissements finis en termes simples

La fraction

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

est le taux de variation moyen sur l’intervalle. Géométriquement, c’est la pente de la droite sécante passant par les extrémités.

La dérivée $f'(c)$ est le taux de variation instantané en un point. Géométriquement, c’est la pente de la tangente en ce point.

Le théorème dit donc ceci : si le graphe n’a ni saut, ni trou, ni angle aux bons endroits sur l’intervalle, alors au moins une tangente à l’intérieur de l’intervalle est parallèle à la sécante reliant les extrémités.

Pourquoi la continuité et la dérivabilité sont importantes

La condition sur l’intervalle fermé $[a,b]$ et celle sur l’intervalle ouvert $(a,b)$ ne sont pas de simples détails techniques. Ce sont exactement elles qui permettent au théorème de fonctionner.

La continuité sur $[a,b]$ exclut les sauts et les trous sur tout l’intervalle. La dérivabilité sur $(a,b)$ exclut les angles pointus à l’intérieur de l’intervalle. Si l’une de ces conditions échoue, on ne peut pas conclure qu’un certain $c$ doit exister.

Par exemple, $f(x) = |x|$ sur $[-1,1]$ est continue, mais elle n’est pas dérivable en $x=0$. Son taux de variation moyen sur $[-1,1]$ vaut

$$\frac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)} = \frac{1-1}{2} = 0,$$

mais il n’existe aucun point de $(-1,1)$ où la dérivée vaut $0$. Pour $x<0$, la dérivée vaut $-1$. Pour $x>0$, elle vaut $1$. En $x=0$, la dérivée n’existe pas.

Exemple détaillé : trouver $c$ pour $f(x) = x^2$ sur $[1,3]$

Soit

$$f(x) = x^2$$

sur l’intervalle $[1,3]$.

Cette fonction est continue sur $[1,3]$ et dérivable sur $(1,3)$, donc le théorème s’applique.

Commençons par calculer le taux de variation moyen :

$$\frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{9-1}{2} = 4.$$

Dérivons maintenant :

$$f'(x) = 2x.$$

Posons la dérivée égale à la pente de la sécante :

$$2c = 4.$$

Donc

$$c = 2.$$

Comme $2 \in (1,3)$, c’est le point garanti par le théorème. En $x=2$, la pente de la tangente vaut $4$, ce qui correspond à la pente moyenne sur tout l’intervalle.

C’est la démarche typique dans les exercices sur le théorème des accroissements finis : vérifier les conditions, calculer la pente de la sécante, dériver, puis résoudre pour $c$.

Erreurs fréquentes avec le théorème des accroissements finis

1. Oublier les conditions. Le théorème n’est pas juste une formule dans laquelle on remplace des valeurs.
2. Confondre les types d’intervalles. Il faut la continuité sur $[a,b]$ et la dérivabilité sur $(a,b)$.
3. Supposer que le point $c$ est unique. Le théorème garantit au moins un point, pas exactement un.
4. Le confondre avec le théorème de la valeur moyenne. Le théorème des accroissements finis relie des pentes, pas des moyennes de valeurs de fonction.

Quand utilise-t-on le théorème des accroissements finis ?

En calcul différentiel, ce théorème sert souvent à établir des résultats plus généraux plutôt qu’à résoudre un seul exercice.

Par exemple, il aide à prouver que si $f'(x) = 0$ partout sur un intervalle, alors la fonction y est constante. Il permet aussi de justifier des affirmations comme : si $f'(x) > 0$ sur tout un intervalle, alors la fonction est croissante sur cet intervalle. Plus généralement, il permet de contrôler l’ampleur de la variation d’une fonction quand on connaît des informations sur sa dérivée.

Essayez un exercice similaire

Essayez la même méthode avec $f(x)=x^3$ sur $[0,2]$. Commencez par calculer la pente de la sécante, puis résolvez

$$f'(c) = \frac{f(2)-f(0)}{2-0}.$$

Comparez ensuite avec une fonction comme $|x|$ sur $[-1,1]$ pour voir précisément comment un angle fait échouer les conditions du théorème.