Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung besagt: Wenn eine Funktion auf $[a,b]$ stetig und auf $(a,b)$ differenzierbar ist, dann gibt es irgendwo im Intervall einen Punkt, an dem ihre Tangentensteigung mit der mittleren Änderungsrate von $a$ bis $b$ übereinstimmt. Einfach gesagt: Eine ausreichend glatte Kurve muss sich für einen Moment mit ihrer „durchschnittlichen Gesamtgeschwindigkeit“ bewegen.

Für eine Funktion $f$, die auf $[a,b]$ stetig und auf $(a,b)$ differenzierbar ist, sagt der Satz, dass es ein $c \in (a,b)$ gibt mit

$$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Die Bedingungen sind wichtig. Wenn Stetigkeit oder Differenzierbarkeit auf dem geforderten Intervall fehlt, muss die Aussage nicht gelten.

Mittelwertsatz in einfachen Worten

Der Bruch

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

ist die mittlere Änderungsrate auf dem Intervall. Geometrisch ist das die Steigung der Sekante durch die beiden Endpunkte.

Die Ableitung $f'(c)$ ist die momentane Änderungsrate an einem einzelnen Punkt. Geometrisch ist das die Steigung der Tangente an dieser Stelle.

Der Satz sagt also Folgendes: Wenn der Graph an den richtigen Stellen keine Sprünge, Lücken oder Ecken hat, dann gibt es im Intervall mindestens eine Tangente, die parallel zur Sekante durch die Endpunkte verläuft.

Warum Stetigkeit und Differenzierbarkeit wichtig sind

Die Bedingung für das abgeschlossene Intervall $[a,b]$ und die für das offene Intervall $(a,b)$ sind kein technischer Ballast. Genau sie sorgen dafür, dass der Satz funktioniert.

Stetigkeit auf $[a,b]$ schließt Sprünge oder Lücken im ganzen Intervall aus. Differenzierbarkeit auf $(a,b)$ schließt scharfe Ecken im Inneren des Intervalls aus. Wenn eine der beiden Bedingungen verletzt ist, kannst du nicht folgern, dass ein solches $c$ existieren muss.

Zum Beispiel ist $f(x) = |x|$ auf $[-1,1]$ stetig, aber bei $x=0$ nicht differenzierbar. Ihre mittlere Änderungsrate auf $[-1,1]$ ist

$$\frac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)} = \frac{1-1}{2} = 0,$$

aber es gibt keinen Punkt in $(-1,1)$, an dem die Ableitung gleich $0$ ist. Für $x<0$ ist die Ableitung $-1$. Für $x>0$ ist sie $1$. Bei $x=0$ existiert die Ableitung nicht.

Durchgerechnetes Beispiel: Finde $c$ für $f(x) = x^2$ auf $[1,3]$

Sei

$$f(x) = x^2$$

auf dem Intervall $[1,3]$.

Diese Funktion ist auf $[1,3]$ stetig und auf $(1,3)$ differenzierbar, also ist der Satz anwendbar.

Bestimme zuerst die mittlere Änderungsrate:

$$\frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{9-1}{2} = 4.$$

Leite nun ab:

$$f'(x) = 2x.$$

Setze die Ableitung gleich der Sekantensteigung:

$$2c = 4.$$

Also gilt

$$c = 2.$$

Da $2 \in (1,3)$, ist das der vom Satz garantierte Punkt. Bei $x=2$ ist die Tangentensteigung $4$ und stimmt damit mit der mittleren Steigung über das ganze Intervall überein.

Das ist der typische Ablauf bei Aufgaben zum Mittelwertsatz: Bedingungen prüfen, Sekantensteigung berechnen, ableiten und nach $c$ auflösen.

Häufige Fehler beim Mittelwertsatz

1. Die Bedingungen zu überspringen. Der Satz ist nicht einfach nur eine Formel zum Einsetzen.
2. Die Intervallarten zu verwechseln. Du brauchst Stetigkeit auf $[a,b]$ und Differenzierbarkeit auf $(a,b)$.
3. Anzunehmen, dass der Punkt $c$ eindeutig ist. Der Satz garantiert mindestens einen Punkt, nicht genau einen.
4. Ihn mit dem Mittelwertsatz für Integrale zu verwechseln. Beim Mittelwertsatz der Differentialrechnung geht es um Steigungen, nicht um Funktionsmittelwerte.

Wann der Mittelwertsatz verwendet wird

In der Analysis dient der Satz oft dazu, größere Ergebnisse zu begründen, statt nur eine einzelne Übungsaufgabe zu lösen.

Zum Beispiel hilft er beim Beweis, dass eine Funktion auf einem Intervall konstant ist, wenn $f'(x) = 0$ überall auf diesem Intervall gilt. Er stützt auch Aussagen wie: Wenn $f'(x) > 0$ auf einem ganzen Intervall gilt, dann ist die Funktion dort monoton steigend. Allgemeiner erlaubt er dir abzuschätzen, wie stark sich eine Funktion ändern kann, wenn du etwas über ihre Ableitung weißt.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Versuche denselben Ablauf mit $f(x)=x^3$ auf $[0,2]$. Berechne zuerst die Sekantensteigung und löse dann

$$f'(c) = \frac{f(2)-f(0)}{2-0}.$$

Vergleiche das anschließend mit einer Funktion wie $|x|$ auf $[-1,1]$, um genau zu sehen, wie eine Ecke die Voraussetzungen des Satzes verletzt.