Twierdzenie o wartości średniej

Twierdzenie o wartości średniej mówi, że jeśli funkcja jest ciągła na $[a,b]$ i różniczkowalna na $(a,b)$, to gdzieś wewnątrz tego przedziału nachylenie jej stycznej jest równe średniemu tempu zmian od $a$ do $b$. Mówiąc prościej, dostatecznie gładka krzywa musi w pewnym momencie poruszać się z „ogólną średnią prędkością”.

Dla funkcji $f$, która jest ciągła na $[a,b]$ i różniczkowalna na $(a,b)$, twierdzenie mówi, że istnieje pewne $c \in (a,b)$ takie, że

$$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Te warunki są ważne. Jeśli ciągłość albo różniczkowalność nie zachodzi na wymaganym przedziale, wniosek nie musi być prawdziwy.

Twierdzenie o wartości średniej prostym językiem

Ułamek

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

to średnie tempo zmian na przedziale. Geometrycznie jest to nachylenie siecznej przechodzącej przez końce przedziału.

Pochodna $f'(c)$ to chwilowe tempo zmian w jednym punkcie. Geometrycznie jest to nachylenie stycznej w tym punkcie.

Twierdzenie mówi więc tyle: jeśli wykres nie ma skoków, dziur ani ostrych narożników na przedziale we właściwych miejscach, to co najmniej jedna styczna wewnątrz przedziału jest równoległa do siecznej łączącej końce przedziału.

Dlaczego ciągłość i różniczkowalność są ważne

Warunek na przedział domknięty $[a,b]$ i warunek na przedział otwarty $(a,b)$ nie są technicznym dodatkiem. To właśnie one sprawiają, że twierdzenie działa.

Ciągłość na $[a,b]$ wyklucza skoki i dziury na całym przedziale. Różniczkowalność na $(a,b)$ wyklucza ostre narożniki wewnątrz przedziału. Jeśli którykolwiek z tych warunków nie jest spełniony, nie można wnioskować, że taki punkt $c$ musi istnieć.

Na przykład funkcja $f(x) = |x|$ na $[-1,1]$ jest ciągła, ale nie jest różniczkowalna w punkcie $x=0$. Jej średnie tempo zmian na $[-1,1]$ wynosi

$$\frac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)} = \frac{1-1}{2} = 0,$$

ale nie ma punktu w $(-1,1)$, w którym pochodna byłaby równa $0$. Dla $x<0$ pochodna wynosi $-1$. Dla $x>0$ wynosi $1$. W punkcie $x=0$ pochodna nie istnieje.

Przykład z rozwiązaniem: znajdź $c$ dla $f(x) = x^2$ na $[1,3]$

Niech

$$f(x) = x^2$$

na przedziale $[1,3]$.

Ta funkcja jest ciągła na $[1,3]$ i różniczkowalna na $(1,3)$, więc twierdzenie można zastosować.

Najpierw oblicz średnie tempo zmian:

$$\frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{9-1}{2} = 4.$$

Teraz oblicz pochodną:

$$f'(x) = 2x.$$

Przyrównaj pochodną do nachylenia siecznej:

$$2c = 4.$$

Zatem

$$c = 2.$$

Ponieważ $2 \in (1,3)$, jest to punkt gwarantowany przez twierdzenie. Dla $x=2$ nachylenie stycznej wynosi $4$, czyli tyle samo co średnie nachylenie na całym przedziale.

To typowy schemat rozwiązywania zadań z twierdzenia o wartości średniej: sprawdź warunki, oblicz nachylenie siecznej, wyznacz pochodną i rozwiąż równanie względem $c$.

Najczęstsze błędy przy twierdzeniu o wartości średniej

1. Pomijanie warunków. To twierdzenie nie jest tylko wzorem do podstawienia.
2. Mylenie typów przedziałów. Potrzebujesz ciągłości na $[a,b]$ i różniczkowalności na $(a,b)$.
3. Zakładanie, że punkt $c$ jest jedyny. Twierdzenie gwarantuje co najmniej jeden punkt, a nie dokładnie jeden.
4. Mylenie go z twierdzeniem o wartości średniej funkcji. Twierdzenie o wartości średniej dotyczy nachyleń, a nie średnich wartości funkcji.

Kiedy używa się twierdzenia o wartości średniej

W analizie matematycznej to twierdzenie często wspiera większe wyniki, a nie tylko jedno zadanie domowe.

Na przykład pomaga udowodnić, że jeśli $f'(x) = 0$ w każdym punkcie przedziału, to funkcja jest tam stała. Wspiera też stwierdzenia takie jak: jeśli $f'(x) > 0$ na całym przedziale, to funkcja jest na tym przedziale rosnąca. Ogólniej pozwala kontrolować, jak bardzo funkcja może się zmienić, gdy wiemy coś o jej pochodnej.

Spróbuj podobnego zadania

Przejdź ten sam proces dla $f(x)=x^3$ na $[0,2]$. Najpierw oblicz nachylenie siecznej, a potem rozwiąż

$$f'(c) = \frac{f(2)-f(0)}{2-0}.$$

Następnie porównaj to z funkcją taką jak $|x|$ na $[-1,1]$, aby dokładnie zobaczyć, jak ostry narożnik łamie warunki twierdzenia.