Định lý giá trị trung bình

Định lý giá trị trung bình nói rằng nếu một hàm số liên tục trên $[a,b]$ và khả vi trên $(a,b)$, thì ở đâu đó bên trong khoảng, hệ số góc tiếp tuyến của nó sẽ bằng tốc độ thay đổi trung bình từ $a$ đến $b$. Nói đơn giản, một đường cong đủ “trơn” sẽ có lúc chuyển động với “vận tốc trung bình tổng thể” của nó.

Với một hàm số $f$ liên tục trên $[a,b]$ và khả vi trên $(a,b)$, định lý nói rằng tồn tại một điểm $c \in (a,b)$ sao cho

$$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Các điều kiện này rất quan trọng. Nếu tính liên tục hoặc tính khả vi không thỏa trên khoảng yêu cầu, thì kết luận không nhất thiết còn đúng.

Định lý giá trị trung bình theo cách dễ hiểu

Phân số

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

là tốc độ thay đổi trung bình trên khoảng. Về mặt hình học, đó là hệ số góc của đường thẳng cát tuyến đi qua hai đầu mút.

Đạo hàm $f'(c)$ là tốc độ thay đổi tức thời tại một điểm. Về mặt hình học, đó là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm đó.

Vì vậy, định lý nói điều này: nếu đồ thị không có chỗ nhảy, lỗ hổng hay góc nhọn trên khoảng ở đúng những vị trí cần thiết, thì sẽ có ít nhất một tiếp tuyến bên trong khoảng song song với cát tuyến nối hai đầu mút.

Vì sao tính liên tục và tính khả vi lại quan trọng

Điều kiện trên khoảng đóng $[a,b]$ và điều kiện trên khoảng mở $(a,b)$ không phải là chi tiết kỹ thuật thừa thãi. Chính chúng là điều làm cho định lý hoạt động.

Tính liên tục trên $[a,b]$ loại trừ các chỗ nhảy hoặc lỗ hổng trên toàn khoảng. Tính khả vi trên $(a,b)$ loại trừ các góc nhọn bên trong khoảng. Nếu một trong hai điều kiện không thỏa, bạn không thể kết luận rằng phải tồn tại một điểm $c$ nào đó.

Ví dụ, $f(x) = |x|$ trên $[-1,1]$ là liên tục, nhưng không khả vi tại $x=0$. Tốc độ thay đổi trung bình của nó trên $[-1,1]$ là

$$\frac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)} = \frac{1-1}{2} = 0,$$

nhưng không có điểm nào trong $(-1,1)$ mà đạo hàm bằng $0$. Với $x<0$, đạo hàm là $-1$. Với $x>0$, đạo hàm là $1$. Tại $x=0$, đạo hàm không tồn tại.

Ví dụ có lời giải: Tìm $c$ cho $f(x) = x^2$ trên $[1,3]$

Cho

$$f(x) = x^2$$

trên khoảng $[1,3]$.

Hàm số này liên tục trên $[1,3]$ và khả vi trên $(1,3)$, nên định lý được áp dụng.

Trước hết, tìm tốc độ thay đổi trung bình:

$$\frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{9-1}{2} = 4.$$

Bây giờ lấy đạo hàm:

$$f'(x) = 2x.$$

Đặt đạo hàm bằng hệ số góc cát tuyến:

$$2c = 4.$$

Suy ra

$$c = 2.$$

Vì $2 \in (1,3)$, đây là điểm được định lý đảm bảo tồn tại. Tại $x=2$, hệ số góc tiếp tuyến là $4$, đúng bằng hệ số góc trung bình trên toàn khoảng.

Đây là quy trình điển hình cho các bài toán về Định lý giá trị trung bình: kiểm tra điều kiện, tính hệ số góc cát tuyến, lấy đạo hàm và giải tìm $c$.

Những lỗi thường gặp với Định lý giá trị trung bình

1. Bỏ qua các điều kiện. Định lý không chỉ là một công thức để thay số vào.
2. Quên loại khoảng. Bạn cần tính liên tục trên $[a,b]$ và tính khả vi trên $(a,b)$.
3. Cho rằng điểm $c$ là duy nhất. Định lý đảm bảo có ít nhất một điểm, không phải đúng một điểm.
4. Nhầm với Định lý giá trị trung bình của hàm số. Định lý giá trị trung bình ở đây nói về sự bằng nhau của hệ số góc, không phải giá trị trung bình của hàm.

Khi nào Định lý giá trị trung bình được sử dụng

Trong giải tích, định lý này thường được dùng để hỗ trợ các kết quả lớn hơn thay vì chỉ xuất hiện trong một bài tập riêng lẻ.

Ví dụ, nó giúp chứng minh rằng nếu $f'(x) = 0$ ở mọi điểm trên một khoảng, thì hàm số là hằng số trên khoảng đó. Nó cũng hỗ trợ các phát biểu như: nếu $f'(x) > 0$ trên toàn bộ một khoảng, thì hàm số đồng biến trên khoảng đó. Tổng quát hơn, nó cho phép bạn kiểm soát mức độ thay đổi của một hàm số khi bạn biết thông tin về đạo hàm của nó.

Hãy thử một bài tương tự

Hãy làm cùng quy trình với $f(x)=x^3$ trên $[0,2]$. Trước hết tính hệ số góc cát tuyến, rồi giải

$$f'(c) = \frac{f(2)-f(0)}{2-0}.$$

Sau đó so sánh với một hàm như $|x|$ trên $[-1,1]$ để thấy chính xác một góc nhọn làm hỏng các điều kiện của định lý như thế nào.