ทฤษฎีบทค่ากลาง

ทฤษฎีบทค่ากลางกล่าวว่า ถ้าฟังก์ชันต่อเนื่องบน $[a,b]$ และหาอนุพันธ์ได้บน $(a,b)$ แล้ว จะมีจุดหนึ่งภายในช่วงที่ความชันของเส้นสัมผัสเท่ากับอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยจาก $a$ ถึง $b$ พูดแบบง่าย ๆ คือ ถ้าเส้นโค้งเรียบพอ ก็ต้องมีช่วงเวลาหนึ่งที่มันเคลื่อนที่ด้วย “ความเร็วเฉลี่ยรวม” พอดี

สำหรับฟังก์ชัน $f$ ที่ต่อเนื่องบน $[a,b]$ และหาอนุพันธ์ได้บน $(a,b)$ ทฤษฎีบทบอกว่าจะมีบางค่า $c \in (a,b)$ ที่ทำให้

$$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

เงื่อนไขเหล่านี้สำคัญมาก ถ้าความต่อเนื่องหรือการหาอนุพันธ์ใช้ไม่ได้ในช่วงที่กำหนด ข้อสรุปนี้ก็ไม่จำเป็นต้องเป็นจริง

ทฤษฎีบทค่ากลางแบบภาษาง่าย ๆ

เศษส่วน

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

คืออัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยบนช่วงนั้น ในเชิงเรขาคณิต มันคือความชันของเส้นตัดที่ผ่านจุดปลายทั้งสอง

อนุพันธ์ $f'(c)$ คืออัตราการเปลี่ยนแปลงฉับพลัน ณ จุดหนึ่ง ในเชิงเรขาคณิต มันคือความชันของเส้นสัมผัสที่จุดนั้น

ดังนั้นทฤษฎีบทนี้จึงบอกว่า ถ้ากราฟไม่มีการกระโดด ไม่มีรูโหว่ และไม่มีมุมแหลมในตำแหน่งที่เกี่ยวข้อง อย่างน้อยจะต้องมีเส้นสัมผัสเส้นหนึ่งภายในช่วงที่ขนานกับเส้นตัดที่เชื่อมจุดปลายทั้งสอง

ทำไมความต่อเนื่องและการหาอนุพันธ์ได้จึงสำคัญ

เงื่อนไขช่วงปิด $[a,b]$ และช่วงเปิด $(a,b)$ ไม่ใช่รายละเอียดทางเทคนิคที่เกินจำเป็น แต่มันคือสิ่งที่ทำให้ทฤษฎีบทนี้ใช้ได้จริง

ความต่อเนื่องบน $[a,b]$ ตัดปัญหาการกระโดดหรือรูโหว่ตลอดทั้งช่วง ส่วนการหาอนุพันธ์ได้บน $(a,b)$ ตัดปัญหามุมแหลมภายในช่วง ถ้าเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งไม่เป็นจริง คุณจะสรุปไม่ได้ว่าต้องมีค่า $c$ ดังกล่าว

ตัวอย่างเช่น $f(x) = |x|$ บน $[-1,1]$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง แต่หาอนุพันธ์ไม่ได้ที่ $x=0$ อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยบน $[-1,1]$ คือ

$$\frac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)} = \frac{1-1}{2} = 0,$$

แต่ไม่มีจุดใดใน $(-1,1)$ ที่อนุพันธ์เท่ากับ $0$ สำหรับ $x<0$ อนุพันธ์คือ $-1$ สำหรับ $x>0$ อนุพันธ์คือ $1$ และที่ $x=0$ อนุพันธ์ไม่มีอยู่

ตัวอย่างทำโจทย์: หา $c$ สำหรับ $f(x) = x^2$ บน $[1,3]$

ให้

$$f(x) = x^2$$

บนช่วง $[1,3]$

ฟังก์ชันนี้ต่อเนื่องบน $[1,3]$ และหาอนุพันธ์ได้บน $(1,3)$ ดังนั้นทฤษฎีบทนี้ใช้ได้

เริ่มจากหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย:

$$\frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{9-1}{2} = 4.$$

จากนั้นหาอนุพันธ์:

$$f'(x) = 2x.$$

กำหนดให้อนุพันธ์เท่ากับความชันของเส้นตัด:

$$2c = 4.$$

ดังนั้น

$$c = 2.$$

เนื่องจาก $2 \in (1,3)$ นี่คือจุดที่ทฤษฎีบทรับประกันไว้ ที่ $x=2$ ความชันของเส้นสัมผัสคือ $4$ ซึ่งตรงกับความชันเฉลี่ยตลอดทั้งช่วง

นี่คือขั้นตอนมาตรฐานของโจทย์ทฤษฎีบทค่ากลาง: ตรวจเงื่อนไข คำนวณความชันของเส้นตัด หาอนุพันธ์ แล้วแก้หา $c$

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับทฤษฎีบทค่ากลาง

1. ข้ามการตรวจเงื่อนไข ทฤษฎีบทนี้ไม่ใช่แค่สูตรที่แทนค่าได้ทันที
2. ลืมชนิดของช่วง ต้องต่อเนื่องบน $[a,b]$ และหาอนุพันธ์ได้บน $(a,b)$
3. คิดว่าจุด $c$ มีเพียงจุดเดียวเสมอ ทฤษฎีบทรับประกันแค่ว่าอย่างน้อยมีหนึ่งจุด ไม่ได้บอกว่ามีจุดเดียว
4. สับสนกับทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย ทฤษฎีบทค่ากลางจับคู่ความชัน ไม่ใช่ค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน

ทฤษฎีบทค่ากลางถูกใช้เมื่อไร

ในแคลคูลัส ทฤษฎีบทนี้มักใช้สนับสนุนผลลัพธ์ที่ใหญ่กว่า มากกว่าจะเป็นแค่โจทย์การบ้านข้อหนึ่ง

ตัวอย่างเช่น มันช่วยพิสูจน์ว่า ถ้า $f'(x) = 0$ ทุกจุดบนช่วงหนึ่ง ฟังก์ชันจะเป็นค่าคงที่บนช่วงนั้น นอกจากนี้ยังช่วยสนับสนุนข้อความอย่างเช่น ถ้า $f'(x) > 0$ ตลอดช่วงหนึ่ง ฟังก์ชันจะเป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วงนั้น โดยทั่วไปแล้ว มันช่วยให้เราควบคุมได้ว่าฟังก์ชันจะเปลี่ยนไปมากแค่ไหน เมื่อเรารู้อะไรบางอย่างเกี่ยวกับอนุพันธ์ของมัน

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองใช้ขั้นตอนเดียวกันกับ $f(x)=x^3$ บน $[0,2]$ ก่อนอื่นคำนวณความชันของเส้นตัด แล้วแก้สมการ

$$f'(c) = \frac{f(2)-f(0)}{2-0}.$$

จากนั้นเปรียบเทียบกับฟังก์ชันอย่าง $|x|$ บน $[-1,1]$ เพื่อดูให้ชัดว่ามุมแหลมทำให้เงื่อนไขของทฤษฎีบทนี้ใช้ไม่ได้อย่างไร