평균값 정리

평균값 정리는 함수가 $[a,b]$에서 연속이고 $(a,b)$에서 미분 가능하면, 그 구간 안 어딘가에서 접선의 기울기가 $a$부터 $b$까지의 평균변화율과 같아진다고 말합니다. 쉽게 말해, 충분히 매끄러운 곡선은 어느 순간 자신의 "전체 평균 속도"와 같은 속도로 움직여야 합니다.

함수 $f$가 $[a,b]$에서 연속이고 $(a,b)$에서 미분 가능할 때, 이 정리는 어떤 $c \in (a,b)$가 존재하여

$$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

를 만족한다고 말합니다.

이 조건들은 중요합니다. 필요한 구간에서 연속성이나 미분 가능성이 깨지면, 결론이 반드시 성립하는 것은 아닙니다.

평균값 정리를 쉬운 말로 이해하기

분수

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

는 그 구간에서의 평균변화율입니다. 기하적으로는 양 끝점을 지나는 할선의 기울기입니다.

도함수 $f'(c)$는 한 점에서의 순간변화율입니다. 기하적으로는 그 점에서의 접선의 기울기입니다.

따라서 이 정리는 이렇게 말합니다. 그래프가 구간의 필요한 위치에서 점프, 구멍, 뾰족한 꼭짓점 없이 이어져 있다면, 구간 내부의 적어도 한 접선은 양 끝점을 잇는 할선과 평행합니다.

왜 연속성과 미분 가능성이 중요한가

닫힌구간 조건 $[a,b]$와 열린구간 조건 $(a,b)$는 단순한 형식적인 조건이 아닙니다. 바로 이 조건들이 정리가 성립하게 만드는 핵심입니다.

$[a,b]$에서의 연속성은 구간 전체에서 점프나 구멍이 없도록 합니다. $(a,b)$에서의 미분 가능성은 구간 내부에 날카로운 꼭짓점이 없도록 합니다. 둘 중 하나라도 성립하지 않으면, 어떤 $c$가 반드시 존재한다고 결론 내릴 수 없습니다.

예를 들어, $[-1,1]$에서의 $f(x) = |x|$는 연속이지만 $x=0$에서 미분 가능하지 않습니다. $[-1,1]$에서의 평균변화율은

$$\frac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)} = \frac{1-1}{2} = 0,$$

이지만, $(-1,1)$ 안에는 도함수가 $0$이 되는 점이 없습니다. $x<0$에서는 도함수가 $-1$이고, $x>0$에서는 $1$입니다. $x=0$에서는 도함수가 존재하지 않습니다.

예제: $[1,3]$에서 $f(x) = x^2$의 $c$ 구하기

구간 $[1,3]$에서

$$f(x) = x^2$$

를 생각해 봅시다.

이 함수는 $[1,3]$에서 연속이고 $(1,3)$에서 미분 가능하므로, 평균값 정리를 적용할 수 있습니다.

먼저 평균변화율을 구합니다.

$$\frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{9-1}{2} = 4.$$

이제 미분합니다.

$$f'(x) = 2x.$$

도함수를 할선의 기울기와 같게 놓으면

$$2c = 4.$$

따라서

$$c = 2.$$

$2 \in (1,3)$이므로, 이것이 정리가 보장하는 점입니다. $x=2$에서 접선의 기울기는 $4$이고, 이는 전체 구간에서의 평균 기울기와 같습니다.

이것이 평균값 정리 문제를 푸는 전형적인 흐름입니다. 조건을 확인하고, 할선의 기울기를 구하고, 미분한 뒤, $c$를 구합니다.

평균값 정리에서 자주 하는 실수

1. 조건을 건너뛰는 것. 이 정리는 그냥 공식에 대입하는 문제가 아닙니다.
2. 구간 종류를 잊는 것. $[a,b]$에서는 연속, $(a,b)$에서는 미분 가능해야 합니다.
3. 점 $c$가 유일하다고 가정하는 것. 이 정리는 적어도 한 점을 보장할 뿐, 정확히 한 점을 보장하지는 않습니다.
4. 적분의 평균값 정리와 혼동하는 것. 평균값 정리는 기울기를 맞추는 정리이지, 함수값의 평균을 다루는 정리가 아닙니다.

평균값 정리는 언제 쓰일까

미적분에서 이 정리는 단순히 숙제 한 문제를 푸는 데 그치지 않고, 더 큰 결과를 뒷받침하는 데 자주 쓰입니다.

예를 들어, 어떤 구간에서 $f'(x) = 0$이 항상 성립하면 그 함수는 그 구간에서 상수함수라는 사실을 증명하는 데 도움이 됩니다. 또 어떤 구간 전체에서 $f'(x) > 0$이면 그 함수가 그 구간에서 증가한다는 명제를 뒷받침합니다. 더 일반적으로는, 도함수에 대한 정보를 알 때 함수가 얼마나 변할 수 있는지를 통제하게 해 줍니다.

비슷한 문제를 직접 해보기

$[0,2]$에서 $f(x)=x^3$에 대해 같은 과정을 해 보세요. 먼저 할선의 기울기를 구한 다음,

$$f'(c) = \frac{f(2)-f(0)}{2-0}.$$

를 풀어 보세요.

그다음 $[-1,1]$에서의 $|x|$ 같은 함수와 비교해 보면, 꼭짓점이 어떻게 정리의 조건을 깨뜨리는지 정확히 확인할 수 있습니다.