Teorema del valor medio

El Teorema del valor medio dice que si una función es continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$, entonces en algún punto dentro del intervalo su pendiente tangente coincide con la tasa media de cambio desde $a$ hasta $b$. En palabras sencillas, una curva suficientemente suave debe moverse por un instante a su "velocidad media total".

Para una función $f$ que es continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$, el teorema dice que existe algún $c \in (a,b)$ tal que

$$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Las condiciones importan. Si la continuidad o la derivabilidad fallan en el intervalo requerido, la conclusión no tiene por qué ser cierta.

Teorema del valor medio en palabras sencillas

La fracción

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

es la tasa media de cambio en el intervalo. Geométricamente, es la pendiente de la recta secante que pasa por los extremos.

La derivada $f'(c)$ es la tasa instantánea de cambio en un punto. Geométricamente, es la pendiente de la recta tangente en ese punto.

Así que el teorema dice esto: si la gráfica no tiene saltos, huecos ni esquinas en los lugares adecuados del intervalo, entonces al menos una recta tangente dentro del intervalo es paralela a la recta secante que une los extremos.

Por qué importan la continuidad y la derivabilidad

La condición del intervalo cerrado $[a,b]$ y la del intervalo abierto $(a,b)$ no son tecnicismos innecesarios. Son exactamente lo que hace que el teorema funcione.

La continuidad en $[a,b]$ descarta saltos o huecos en todo el intervalo. La derivabilidad en $(a,b)$ descarta esquinas puntiagudas dentro del intervalo. Si falla cualquiera de las dos condiciones, no puedes concluir que debe existir algún $c$.

Por ejemplo, $f(x) = |x|$ en $[-1,1]$ es continua, pero no es derivable en $x=0$. Su tasa media de cambio en $[-1,1]$ es

$$\frac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)} = \frac{1-1}{2} = 0,$$

pero no hay ningún punto en $(-1,1)$ donde la derivada sea igual a $0$. Para $x<0$, la derivada es $-1$. Para $x>0$, es $1$. En $x=0$, la derivada no existe.

Ejemplo resuelto: hallar $c$ para $f(x) = x^2$ en $[1,3]$

Sea

$$f(x) = x^2$$

en el intervalo $[1,3]$.

Esta función es continua en $[1,3]$ y derivable en $(1,3)$, así que el teorema se aplica.

Primero calcula la tasa media de cambio:

$$\frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{9-1}{2} = 4.$$

Ahora deriva:

$$f'(x) = 2x.$$

Iguala la derivada a la pendiente de la secante:

$$2c = 4.$$

Entonces

$$c = 2.$$

Como $2 \in (1,3)$, este es el punto garantizado por el teorema. En $x=2$, la pendiente de la tangente es $4$, que coincide con la pendiente media en todo el intervalo.

Este es el procedimiento típico en problemas del Teorema del valor medio: comprobar las condiciones, calcular la pendiente de la secante, derivar y resolver para $c$.

Errores comunes con el Teorema del valor medio

1. Saltarse las condiciones. El teorema no es solo una fórmula en la que sustituyes valores.
2. Olvidar los tipos de intervalo. Necesitas continuidad en $[a,b]$ y derivabilidad en $(a,b)$.
3. Suponer que el punto $c$ es único. El teorema garantiza al menos un punto, no exactamente uno.
4. Confundirlo con el Teorema del valor promedio. El Teorema del valor medio iguala pendientes, no promedios de la función.

Cuándo se usa el Teorema del valor medio

En cálculo, el teorema suele servir de apoyo para resultados más grandes, no solo para un ejercicio de tarea.

Por ejemplo, ayuda a demostrar que si $f'(x) = 0$ en todo un intervalo, entonces la función es constante allí. También respalda afirmaciones como esta: si $f'(x) > 0$ en todo un intervalo, entonces la función es creciente en ese intervalo. Más en general, permite controlar cuánto puede cambiar una función cuando sabes algo sobre su derivada.

Prueba un problema parecido

Prueba el mismo proceso con $f(x)=x^3$ en $[0,2]$. Primero calcula la pendiente de la secante y luego resuelve

$$f'(c) = \frac{f(2)-f(0)}{2-0}.$$

Después compáralo con una función como $|x|$ en $[-1,1]$ para ver exactamente cómo una esquina rompe las condiciones del teorema.