Teorema del valor medio

Il Teorema del valor medio dice che, se una funzione è continua su $[a,b]$ e derivabile su $(a,b)$, allora da qualche parte all’interno dell’intervallo la pendenza della tangente coincide con il tasso medio di variazione da $a$ a $b$. In parole semplici, una curva sufficientemente regolare deve, per un istante, muoversi alla sua "velocità media" complessiva.

Per una funzione $f$ continua su $[a,b]$ e derivabile su $(a,b)$, il teorema afferma che esiste un certo $c \in (a,b)$ tale che

$$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Le condizioni sono importanti. Se la continuità o la derivabilità mancano nell’intervallo richiesto, la conclusione non deve necessariamente essere vera.

Teorema del valor medio in parole semplici

La frazione

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

è il tasso medio di variazione sull’intervallo. Geometricamente, è la pendenza della retta secante che passa per gli estremi.

La derivata $f'(c)$ è il tasso istantaneo di variazione in un punto. Geometricamente, è la pendenza della retta tangente in quel punto.

Quindi il teorema dice questo: se il grafico non ha salti, buchi o spigoli nell’intervallo nei punti giusti, allora almeno una retta tangente interna all’intervallo è parallela alla retta secante che unisce gli estremi.

Perché continuità e derivabilità sono importanti

La condizione sull’intervallo chiuso $[a,b]$ e quella sull’intervallo aperto $(a,b)$ non sono dettagli tecnici superflui. Sono esattamente ciò che fa funzionare il teorema.

La continuità su $[a,b]$ esclude salti o buchi su tutto l’intervallo. La derivabilità su $(a,b)$ esclude spigoli all’interno dell’intervallo. Se una delle due condizioni fallisce, non puoi concludere che debba esistere un certo $c$.

Per esempio, $f(x) = |x|$ su $[-1,1]$ è continua, ma non è derivabile in $x=0$. Il suo tasso medio di variazione su $[-1,1]$ è

$$\frac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)} = \frac{1-1}{2} = 0,$$

ma non esiste alcun punto in $(-1,1)$ in cui la derivata sia uguale a $0$. Per $x<0$, la derivata è $-1$. Per $x>0$, è $1$. In $x=0$, la derivata non esiste.

Esempio svolto: trova $c$ per $f(x) = x^2$ su $[1,3]$

Sia

$$f(x) = x^2$$

sull’intervallo $[1,3]$.

Questa funzione è continua su $[1,3]$ e derivabile su $(1,3)$, quindi il teorema si applica.

Per prima cosa troviamo il tasso medio di variazione:

$$\frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{9-1}{2} = 4.$$

Ora deriviamo:

$$f'(x) = 2x.$$

Poniamo la derivata uguale alla pendenza della secante:

$$2c = 4.$$

Quindi

$$c = 2.$$

Poiché $2 \in (1,3)$, questo è il punto garantito dal teorema. In $x=2$, la pendenza della tangente è $4$, che coincide con la pendenza media sull’intero intervallo.

Questo è il procedimento tipico nei problemi sul Teorema del valor medio: controllare le condizioni, calcolare la pendenza della secante, derivare e risolvere per $c$.

Errori comuni sul Teorema del valor medio

1. Saltare le condizioni. Il teorema non è solo una formula in cui sostituire i valori.
2. Dimenticare i tipi di intervallo. Serve continuità su $[a,b]$ e derivabilità su $(a,b)$.
3. Supporre che il punto $c$ sia unico. Il teorema garantisce almeno un punto, non esattamente uno.
4. Confonderlo con il teorema del valor medio integrale. Il Teorema del valor medio mette in relazione pendenze, non medie dei valori della funzione.

Quando si usa il Teorema del valor medio

In analisi, il teorema spesso serve a sostenere risultati più ampi, non solo a risolvere un esercizio.

Per esempio, aiuta a dimostrare che se $f'(x) = 0$ ovunque in un intervallo, allora la funzione è costante su quell’intervallo. Supporta anche affermazioni come: se $f'(x) > 0$ in tutto un intervallo, allora la funzione è crescente su quell’intervallo. Più in generale, permette di controllare quanto una funzione può variare quando si sa qualcosa sulla sua derivata.

Prova un problema simile

Prova lo stesso procedimento con $f(x)=x^3$ su $[0,2]$. Per prima cosa calcola la pendenza della secante, poi risolvi

$$f'(c) = \frac{f(2)-f(0)}{2-0}.$$

Poi confrontalo con una funzione come $|x|$ su $[-1,1]$ per vedere esattamente come uno spigolo fa fallire le condizioni del teorema.