平均値の定理

平均値の定理とは、関数が $[a,b]$ で連続、$(a,b)$ で微分可能であれば、区間のどこかで接線の傾きが $a$ から $b$ までの平均変化率と一致する、という定理です。直感的に言えば、十分になめらかな曲線には、ある瞬間に「全体としての平均の速さ」と同じ速さで動く点が必ずあります。

関数 $f$ が $[a,b]$ で連続、$(a,b)$ で微分可能であるとき、ある $c \in (a,b)$ が存在して

$$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

が成り立つ、というのがこの定理です。

この条件は重要です。必要な区間で連続性または微分可能性が成り立たなければ、結論は成り立つとは限りません。

平均値の定理をわかりやすく言うと

分数

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

は、その区間での平均変化率です。図形的には、両端の点を結ぶ割線の傾きを表します。

一方、導関数 $f'(c)$ は、ある1点での瞬間の変化率です。図形的には、その点での接線の傾きです。

つまりこの定理が言っているのはこうです。グラフが区間内の適切な場所で飛びや穴や角をもたなければ、区間の内部に、両端を結ぶ割線と平行な接線が少なくとも1本あります。

なぜ連続性と微分可能性が重要なのか

閉区間 $[a,b]$ という条件と開区間 $(a,b)$ という条件は、ただの形式的なものではありません。まさにこの定理を成り立たせるために必要な条件です。

$[a,b]$ での連続性は、区間全体での飛びや穴を除外します。$(a,b)$ での微分可能性は、区間内部の鋭い角を除外します。どちらかの条件が欠けると、そのような $c$ が必ず存在するとは言えません。

たとえば、$[-1,1]$ 上の $f(x) = |x|$ は連続ですが、$x=0$ で微分可能ではありません。このとき $[-1,1]$ での平均変化率は

$$\frac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)} = \frac{1-1}{2} = 0,$$

です。

しかし、$(-1,1)$ の中に導関数が $0$ になる点はありません。$x<0$ では導関数は $-1$、$x>0$ では $1$ です。$x=0$ では導関数は存在しません。

例題：$[1,3]$ 上の $f(x) = x^2$ で $c$ を求める

区間 $[1,3]$ で

$$f(x) = x^2$$

を考えます。

この関数は $[1,3]$ で連続、$(1,3)$ で微分可能なので、平均値の定理を使えます。

まず平均変化率を求めます。

$$\frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{9-1}{2} = 4.$$

次に微分します。

$$f'(x) = 2x.$$

導関数を割線の傾きに等しいとおくと、

$$2c = 4.$$

したがって

$$c = 2.$$

となります。

$2 \in (1,3)$ なので、これが定理によって保証される点です。$x=2$ では接線の傾きが $4$ となり、区間全体での平均の傾きと一致します。

これが平均値の定理の典型的な解き方です。条件を確認し、割線の傾きを計算し、微分して、$c$ を求めます。

平均値の定理でよくある間違い

1. 条件を確認しないこと。定理は、ただ公式に代入すればよいものではありません。
2. 区間の種類を取り違えること。$[a,b]$ での連続性と $(a,b)$ での微分可能性が必要です。
3. 点 $c$ が一意だと思い込むこと。定理が保証するのは少なくとも1点であって、ちょうど1点ではありません。
4. 積分の平均値の定理と混同すること。平均値の定理は傾きの一致を扱うのであって、関数値の平均ではありません。

平均値の定理はいつ使うのか

微積分では、この定理は1問の演習問題を解くためだけでなく、より大きな結果を支えるためによく使われます。

たとえば、ある区間で常に $f'(x) = 0$ なら、その区間で関数は定数であることを示すのに役立ちます。また、ある区間で常に $f'(x) > 0$ なら、その区間で関数は増加する、という主張の根拠にもなります。より一般には、導関数についての情報がわかっているときに、関数がどれだけ変化しうるかを評価できます。

類題に挑戦してみよう

同じ手順で、$[0,2]$ 上の $f(x)=x^3$ を考えてみましょう。まず割線の傾きを求め、次に

$$f'(c) = \frac{f(2)-f(0)}{2-0}.$$

を解いてみてください。

そのあとで、$[-1,1]$ 上の $|x|$ のような関数と比べると、角があることで定理の条件がどのように壊れるのかがはっきりわかります。